Ensino Fundamental ⇒ Três circunferências tangentes entre si . Tópico resolvido

[geobson]

Na figura , calcular AB, em função de a, b e c( P, Q e R são pontos de tangência).

Resposta

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4a [tex3]\sqrt{bc}[/tex3]/ b + c

[FelipeMartinMOD]

[tex3]X,Y,Z[/tex3] são respectivamente os centros dos círculos de raios [tex3]a,b,c[/tex3].
Trace uma reta [tex3]r \parallel AB[/tex3] por [tex3]Z[/tex3] e a reta [tex3]s \perp AB[/tex3] por [tex3]X[/tex3].
Sejam: [tex3]M = s \cap AB, N = r \cap s[/tex3] e [tex3]x = XM[/tex3].
Então, pitágoras em [tex3]\triangle XZN[/tex3]:
[tex3](a+c)^2 = (c+x)^2 + NZ^2[/tex3]
Por fim trace a reta [tex3]t \parallel AB[/tex3] por [tex3]Y[/tex3] e [tex3]O = t \cap s[/tex3]:
Pitágoras em [tex3]\triangle XYO[/tex3]:
[tex3](a+b)^2 = (x-b)^2 + YO^2[/tex3]
como [tex3]YO = NZ[/tex3] porque [tex3]OYZN[/tex3] é retângulo:
[tex3](a+b)^2 - (x-b)^2 = (a+c)^2 - (c+x)^2 \iff (a+c)^2 - (a+b)^2 = (c+x)^2 - (x-b)^2[/tex3]
então:
[tex3](2a+b+c)(c-b) = (2x+c-b)(c+b) \iff 2x = \frac{(2a+b+c)(c-b)}{c+b} + b -c = [/tex3]
[tex3]2x = (c-b)(\frac{2a+b+c}{c+b}-1) = 2a\frac{(c-b)}{c+b}[/tex3]
logo:
[tex3]x = a \frac{(c-b)}{c+b}[/tex3]
Então basta um Pitágoras em [tex3]\triangle AMB[/tex3]:
[tex3]a^2 = x^2 + (\frac{AB}2)^2 \iff \frac{AB}2 = a \sqrt{1 - (\frac{(c-b)}{c+b})^2} = \frac{2a\sqrt{bc}}{c+b}[/tex3]
então:
[tex3]AB = 4a \frac{\sqrt{bc}}{c+b}[/tex3]

[geobson]

FelipeMartin,obrigado.