Olimpíadas ⇒ (Ibero) Equações Funcionais/Compostas POTI Tópico resolvido

[GSazevedo]

Ache todas as [tex3]f[/tex3] tais que [tex3](f(x))^{2}\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x[/tex3], para todo [tex3]x[/tex3] distinto de 0,1 e -1.

Resposta

---

[tex3]f(x)=4\sqrt[3]{\frac{x^{2}(1+x)}{1-x}}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Trocando x por [tex3]\frac{1-x}{1+x}[/tex3]

[tex3](f(x))^{2}\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x[/tex3]
[tex3](f(\frac{1-x}{1+x}))^{2}\cdot f\left(\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}\right)=64 \cdot \frac{1-x}{1+x}[/tex3]
[tex3](f(\frac{1-x}{1+x}))^{2}\cdot f(x)=64 \cdot \frac{1-x}{1+x}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{64x}{(f(x))^2}\right)^2 \cdot f(x)=64 \cdot \frac{1-x}{1+x}[/tex3]
[tex3]\frac{64^2x^2\cdot (1+x)}{64-64x}=(f(x))^3[/tex3]
[tex3]f(x)=4\sqrt[3]{\frac{x^{2}(1+x)}{1-x}}[/tex3]

[GSazevedo]

pode me explicar como você passou dessa:
[tex3](f(\frac{1-x}{1+x}))^{2}\cdot f(x)=64 \cdot \frac{1-x}{1+x}[/tex3]
para essa:
[tex3]\left(\frac{64x}{(f(x))^2}\right)^2 \cdot f(x)=64 \cdot \frac{1-x}{1+x}[/tex3]
?

[Ittalo25MOD]

pode me explicar como você passou dessa:
[tex3](f(\frac{1-x}{1+x}))^{2}\cdot f(x)=64 \cdot \frac{1-x}{1+x}[/tex3]
para essa:
[tex3]\left(\frac{64x}{(f(x))^2}\right)^2 \cdot f(x)=64 \cdot \frac{1-x}{1+x}[/tex3]
?

No início:
[tex3](f(x))^{2}\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x[/tex3]
então:
[tex3]f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{64x}{(f(x))^2}[/tex3]
[tex3](f\left(\frac{1-x}{1+x}\right))^2=(\frac{64x}{(f(x))^2})^2[/tex3]

[GSazevedo]

agora entendi, muito obrigada!