Olimpíadas ⇒ (POTI N2) Problema 1 - Aula 11 - Equação Funcional Tópico resolvido

[goncalves3718]

Determine todas as funções [tex3]f: \mathbb{Z_+}\rightarrow \mathbb{Z_+}[/tex3] uma função tais que [tex3]f(1) =c[/tex3] e,

[tex3]f(x+y) = f(x) + f(y) \, \forall x,y \in \mathbb{Z_+}[/tex3] .

[goncalves3718]

Sendo [tex3]x=y=0[/tex3]:

[tex3]f(0) = f(0)+ f(0) \implies f(0) = 2f(0) \implies 2f(0) - f(0) = 0 \implies \boxed{f(0) = 0}[/tex3]

Sendo [tex3]y=1[/tex3] :

[tex3]f(x+1) = f(x) + f(1) = f(x) + c[/tex3]

Sendo [tex3]x=1, x=2 , \cdots , x = n[/tex3] :

[tex3]f(2) = f(1) + c[/tex3]
[tex3]f(3) = f(2) + c[/tex3]
.
.
.
[tex3]f(n-1) = f(n-2) + c[/tex3]
[tex3]f(n)= f(n-1) + c[/tex3]

Somando:

[tex3]f(2) + f(3) + \,... + f(n-1) + f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + \, ... \,f(n-2) + f(n-1) + (n-1)c \implies f(n) = f(1) + (n-1)c \implies f(n) = c + (n-1)c [/tex3]

Logo [tex3]f(n) = cn[/tex3]