(POTI N2) Problema 6 - Aula 11 - Equação Funcional

goncalves3718 · 2020-10-25T10:03:49+00:00

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goncalves3718 Offline: Mensagens: 816; Registrado em: 26 Dez 2019, 15:26; Agradeceu: 19 vezes; Agradeceram: 31 vezes

Out 2020 25 07:03

(POTI N2) Problema 6 - Aula 11 - Equação Funcional

Mensagempor goncalves3718 » 25 Out 2020, 07:03

Mensagem por goncalves3718 » 25 Out 2020, 07:03

Seja [tex3]f[/tex3] uma função satisfazendo [tex3]f(xy) = \dfrac{f(x)}{y}[/tex3] para todos os números reais positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3].
Se [tex3]f(500)=3[/tex3], qual o valor de [tex3]f(600) ?[/tex3]

goncalves3718

goncalves3718 Offline: Mensagens: 816; Registrado em: 26 Dez 2019, 15:26; Agradeceu: 19 vezes; Agradeceram: 31 vezes

Out 2020 25 07:04

Re: (POTI N2) Problema 6 - Aula 11 - Equação Funcional

Mensagempor goncalves3718 » 25 Out 2020, 07:04

Mensagem por goncalves3718 » 25 Out 2020, 07:04

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goncalves3718

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(POTI N2) Problema 2 - Aula 11 - Equação Funcional

Últ. msg por goncalves3718 « 24 Out 2020, 16:56
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por goncalves3718 » 24 Out 2020, 16:55 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

goncalves3718

Seja [tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex3] uma função tal que [tex3]f(0)=1[/tex3] e, para quaisquer [tex3]x,y \in \mathbb{R}[/tex3],

[tex3]f(xy+1) = f(x)f(y) - f(y) - x + 2[/tex3]

Determine o valor de [tex3]f(2012)[/tex3]

Últ. msg

goncalves3718

Sendo [tex3]x=y=0[/tex3]

[tex3]f(1) = (f(0))^2 - f(0) + 2[/tex3]

Como [tex3]f(0) = 1[/tex3] :

[tex3]f(1) = 1 - 1 + 2 \implies \boxed{f(1) =2}[/tex3]

Trabalhando com apenas uma variável, seja [tex3]y=1[/tex3]:

f(x+1) = f(x)f(1) - f(1) - x...
goncalves37182: 1 Resp.; 1095 Exibições; Últ. msg por goncalves3718
24 Out 2020, 16:56

(POTI N2) Problema 1 - Aula 11 - Equação Funcional

Últ. msg por goncalves3718 « 24 Out 2020, 18:26
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por goncalves3718 » 24 Out 2020, 18:23 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

goncalves3718

Determine todas as funções [tex3]f: \mathbb{Z_+}\rightarrow \mathbb{Z_+}[/tex3] uma função tais que [tex3]f(1) =c[/tex3] e,

[tex3]f(x+y) = f(x) + f(y) \, \forall x,y \in \mathbb{Z_+}[/tex3] .

Últ. msg

goncalves3718

Sendo [tex3]x=y=0[/tex3]:

[tex3]f(0) = f(0)+ f(0) \implies f(0) = 2f(0) \implies 2f(0) - f(0) = 0 \implies \boxed{f(0) = 0}[/tex3]

Sendo [tex3]y=1[/tex3] :

[tex3]f(x+1) = f(x) + f(1) = f(x) + c[/tex3]

Sendo [tex3]x=1, x=2 , \cdots , x = n[/tex3]...
goncalves37182: 1 Resp.; 1110 Exibições; Últ. msg por goncalves3718
24 Out 2020, 18:26

(POTI N2) Problema 3 - Aula 11 - Equação Funcional

Últ. msg por goncalves3718 « 24 Out 2020, 19:34
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por goncalves3718 » 24 Out 2020, 19:34 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

goncalves3718

Seja [tex3]f : \mathbb{R_+ ^*} \rightarrow \mathbb{R} [/tex3] uma função satisfazendo uma equação funcional

[tex3]f(a)+f(b) = f(ab) , \forall a,b \in \mathbb{R_+^*}[/tex3]

Mostre que:

a) [tex3]f(1) = 0[/tex3]

b) f(a^n) = n \cdot f(a) , \,...

Últ. msg

goncalves3718

a) Sendo [tex3]a=b = 1 [/tex3]:

[tex3]f(1)+f(1) = f(1) \implies 2f(1) = f(1) \implies 2f(1) - f(1) = 0 \implies \boxed{f(1)=0}[/tex3]

b) Provaremos por indução que a equação funcional acima vale para um número [tex3]k[/tex3] de termos:

Tese:...
goncalves37182: 1 Resp.; 1002 Exibições; Últ. msg por goncalves3718
24 Out 2020, 19:34

(POTI N2) Problema 4 - Aula 11 - Equação Funcional

Últ. msg por goncalves3718 « 24 Out 2020, 19:44
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por goncalves3718 » 24 Out 2020, 19:44 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

goncalves3718

Seja [tex3]f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}[/tex3] uma função satisfazendo

[tex3]f(n^2) = f(n+m)f(n-m) + m^2 , \, \forall m,n \in \mathbb{Z}[/tex3]

Determine o conjunto de todos os valores possíveis de [tex3]f(0)[/tex3].

Últ. msg

goncalves3718

Fazendo [tex3]m=n=0[/tex3]:

[tex3]f(0) = (f(0))^2 \implies (f(0))^2 - f(0) = 0 \implies f(0) \cdot((f(0) - 1) = 0[/tex3]

Existem duas soluções para [tex3]f(0)[/tex3]

[tex3]f(0)= 0[/tex3] ou [tex3]f(0) -1= 0 \implies f(0) = 1[/tex3]

Fazendo...
goncalves37182: 1 Resp.; 1080 Exibições; Últ. msg por goncalves3718
24 Out 2020, 19:44

(POTI N2) Problema 5 - Aula 11 - Equação Funcional

Últ. msg por goncalves3718 « 24 Out 2020, 22:32
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Resp.: 1
por goncalves3718 » 24 Out 2020, 22:31 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

goncalves3718

Seja [tex3]f [/tex3] uma função com duas propriedades:

[tex3]I. \,f(x + y) = x + f(y), ∀x, y ∈ \mathbb{R};[/tex3]
[tex3]II. \, f(0) = 2[/tex3]

Determine o valor de [tex3]f(2012)[/tex3].

Últ. msg

goncalves3718

Sendo [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3], temos:

[tex3]f(1) = 1 + f(0) \implies f(1) = 1 + 2 \implies \boxed{f(1)=3}[/tex3]

Com apenas [tex3]y=1[/tex3], obtemos:

[tex3]f(x+1) = x + f(1) \implies f(x+1) = x +3[/tex3]

Logo f(2011+1) =...
goncalves37182: 1 Resp.; 1027 Exibições; Últ. msg por goncalves3718
24 Out 2020, 22:32

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