Pré-Vestibular ⇒ (UFU) Números complexos Tópico resolvido

[joãofw]

Sejam z1 e z2 as raízes quadradas do número complexo z = 2i, onde i denota a unidade imaginária, suponha que P e
Q sejam os pontos do plano cartesiano que representam geometricamente z1 e z2 , respectivamente.
De acordo com as considerações acima, é correto afirmar que a distância entre P e Q é igual a:

Resposta

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2√2

Não consigo entender.

[csmarceloMOD]

Segunda fórmula de Moivre

[tex3]z_1=\sqrt{2}\(\cos\(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}+\frac{0\cdot2\pi}{2}\)+i\sin\(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}+\frac{0\cdot2\pi}{2}\)\)=\sqrt{2}\(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\)=\sqrt{2}\(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\)=1+i[/tex3]
[tex3]z_2=\sqrt{2}\(\cos\(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}+\frac{1\cdot2\pi}{2}\)+i\sin\(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}+\frac{1\cdot2\pi}{2}\)\)=\sqrt{2}\(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\)=\sqrt{2}\(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\)=-1-i[/tex3]

Daí, [tex3]P=(1,1)[/tex3] e [tex3]Q=(-1,-1)[/tex3].

Agora é geometria.

Tanto de [tex3]P[/tex3] quanto de [tex3]Q[/tex3] para a origem, temos [tex3]\sqrt{2}[/tex3] u.m. de distância.

[joãofw]

Doutor, porque você usou esse raciocínio. Quero entender qual foi o motivo que levou você a ir pela fórmula polar ?

[csmarceloMOD]

Desconheço outra forma de se calcular raízes de um número complexo.

[LucasPinafiMOD]

[tex3]z^2 = 2i \Longrightarrow (a+bi)^2 = 2 i \therefore (a^2 -b^2) + 2abi = 2i \Longrightarrow \begin{cases}a^2 - b^2 = 0 \\ ab = 1 \end{cases}[/tex3]
Dessa forma, [tex3]a = \pm b[/tex3]. Veja que devemos tomar apenas [tex3]a=b[/tex3] pois caso [tex3]a=-b[/tex3] a segunda equação nos daria [tex3]-a^2 = 1[/tex3] o que é impossível para [tex3]a,b \in \mathbb{R}[/tex3]. Assim, [tex3]a=b[/tex3] e [tex3]a^2 = 1 \Longrightarrow a = \pm 1[/tex3] de modo que [tex3]b=\pm 1[/tex3] e as possíveis soluções são [tex3]z=\pm 1 \pm i[/tex3]. Logo, [tex3]P = (1, 1) , Q = (-1,-1) [/tex3] de modo que a distância entre eles é [tex3]\sqrt{(1-(-1))^2 + (1-(-1))^2} = 2\sqrt 2 [/tex3].

[joãofw]

LucasPinafi, Show . O texto me confundiu, pediu as raízes quadradas. Então quer dizer que as raízes quadradas são os zeros da função?