Ensino Superior ⇒ Limite nos complexos Tópico resolvido

[Luqitas]

Calcule o limite:
[tex3]~~~~lim ~~~~~\frac{z^3-8i}{z+2i}\\ z \to -2i[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução

Note que z³ - 8i = z³ - 2iz² + 2iz² - 8i = z³ - 2iz² - 4z + 2iz² + 4z - 8i = z.( z² - 2iz - 4 ) + 2i.( z² - 2iz - 4 ) = ( z + 2i ).( z² - 2iz - 4 )

Assim,

[tex3]\lim_{z \rightarrow \ -2i}\frac{z^3-8i}{z+2i}=[/tex3]

[tex3]\lim_{z \rightarrow \ -2i}\frac{\cancel{(z+2i)}.(z^2-2iz-4)}{\cancel{z+2i}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{z \rightarrow \ -2i}(z^2-2iz-4)=-12[/tex3]


Obs. Você poderia aplicar a fórmula de Moivre para decompor z³ - 8i ( "encontrar as raízes cúbicas de 8i" ).



Excelente estudo!