Ensino Superior ⇒ CÁLCULO 3: Encontrar volume de sólido Tópico resolvido

[matheusand]

Boa noite, pessoal.
Estou com dúvida em relação a seguinte questão:

Encontre o volume do sólido limitado pelo
parabolóide elíptico 3 [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3] = z e abaixo do
cilindro [tex3]x^{2}[/tex3]+ z = 4.

Aparenta ser simples, mas minhas dificuldade está sendo em definir os limites de integração, e não sei qual ferramenta utilizar, visto que o resultado no gabarito consta como 4 [tex3]\pi [/tex3].

Há como aplicar coordenadas cilíndricas ou polares nessa questão?

Resposta

---

R=4 [tex3]\pi [/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Em coordenadas retangulares:

Fazendo a intersecção de z = 3x² + y² com z = 4 - x² , temos

3x² + y² = 4 - x² → 4x² + y² = 4 → [tex3]x^2+\frac{y^2}{4}=1[/tex3] ( significa dizer que a projeção do sólido formado pela intersecção entre as curvas no plano xy é uma elipse ).

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Assim,

[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{4-4x^2}}^{\sqrt{4-4x^2}}\int\limits_{3x^2+y^2}^{4-x^2}dzdydx=4π \ u.v.[/tex3]



Vamos então passar essa região para coordenadas polares, vem;

[tex3]x^2+\frac{y^2}{4}=1[/tex3]

[tex3](x)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=1[/tex3]

Então

[tex3]x=r.cos(\theta) [/tex3] e [tex3]y=2r.sen(\theta) [/tex3]

Calculando a matriz jacobiana, vem;


[tex3]J(r,\theta) = \left| \begin{array}{rcr}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta }\\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta } \\\end{array} \right| =\left| \begin{array}{rcr}
cos(\theta ) & -rsen(\theta )\\
2sen(\theta ) & 2rcos(\theta ) \\\end{array} \right| = 2rcos^2(\theta)+ 2rsen^2(\theta ) = 2r [/tex3]

Como eu parametrizei a elipse ( entenda como se eu tivesse transformado a elipse em uma "circunferência" ), então podemos concluir que a variação do [tex3]\theta [/tex3] é 0 ≤ [tex3]\theta [/tex3] ≤ 2π( volta trigonométrica completa ) , já a variação de r é 0 ≤ r ≤ 1 ( vai da origem até a curva ) e

z = 4 - x² → z = 4 - r²cos²([tex3]\theta [/tex3]).

z = 3x² + y² → 3r²cos²([tex3]\theta [/tex3]) + 4r²sen²([tex3]\theta [/tex3]) → z = 4r² - r²cos²([tex3]\theta [/tex3])

Ou seja,

[tex3]4r^2-r^2cos^2(\theta ) ≤ z ≤ 4-r^2cos^2(\theta )[/tex3]

Assim,


[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{4r^2-r^2cos^2(\theta )}^{4-r^2cos^2(\theta )}2r \ dzdrd\theta =4π \ u.v.[/tex3]

Fuii!

Excelente estudo!!

[matheusand]

Muito obrigado, Cardoso! A minha dúvida é se poderia considerar a elipse como circunferência de fato e usar r com variação de 0 a 1. Mas você me esclareceu tudo, muito obrigado!

[Cardoso1979]

Muito obrigado, Cardoso! A minha dúvida é se poderia considerar a elipse como circunferência de fato e usar r com variação de 0 a 1. Mas você me esclareceu tudo, muito obrigado!

Disponha