IME / ITA ⇒ (AFA - 1998) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A equação [tex3]7x^4-5x^3+(R-6)x^2+(3S-2)x+T-9=0[/tex3] tem uma raiz tripla em [tex3]x=0[/tex3], o produto [tex3]R.S.T[/tex3] é

a) [tex3]{-}18[/tex3].
b) [tex3]{-}14[/tex3].
c) [tex3]16[/tex3].
d) [tex3]36[/tex3].

[triplebig]

Sejam [tex3]x_1\; ,\; x_2\; , \;x_3\; , \;x_4[/tex3] as raízes. Por Girard:

[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{5}{7}\;\Leftrightarrow\;x_4=\frac{5}{7}[/tex3] , pois [tex3]x_1=x_2=x_3=0[/tex3] (raíz tripla do problema).

Como nas próximas relações de Girard não temos nenhum termo que não esteja multiplicando [tex3]x_4[/tex3] , todos os seguintes valores serão zero:

[tex3]\frac{R-6}{7}=0\;\Leftrightarrow\;R=6[/tex3]

[tex3]\frac{3S-2}{7}=0\;\Leftrightarrow\;S=\frac{2}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{T-9}{7}=0\;\Leftrightarrow\;T=9[/tex3]

Assim [tex3]R\cdot S\cdot T=6\cdot\frac{2}{3}\cdot9=36[/tex3]

Letra d)