Pré-Vestibular ⇒ Uece Geo. Analítica Tópico resolvido

[Lars]

Em um plano, munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, as equações x2 + y2 - 10√3 x – 25 = 0 e x2 + y2 + 10√3 x – 25 = 0 representam circunferências. Cada uma dessas circunferências limitam uma área no plano. O comprimento da linha que contorna a união das áreas limitadas por cada uma destas circunferências é

Dados: u.c. unidade de comprimento

a) 200π/3 u.c.
b) 80π/3 u.c.
c) 50π/3 u.c.
d) 100π/3 u.c.
Gente, que linha seria essa?
Como relacionaria (pi)?

Resposta

---

D

[petrasMOD]

Lars,
ele quer a parte externa das circunferências a partir da interseção

[tex3]x^2 + y^2 - 10\sqrt{3}x – 25 = 0\rightarrow (x-5\sqrt{3})^2+y^2=10^2\\
x^2 + y^2 + 10\sqrt{3}x – 25 = 0\rightarrow (x+5\sqrt{3})^2+y^2=10^2\\
OC = 5\sqrt{3} (centro ~circunferência)
\\ \Delta_{OCA}\rightarrow cos\alpha = \frac{OC}{AC}=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}\therefore \alpha =\frac{\pi }{6}\\
l = \alpha .r\rightarrow \widehat{AB} =2.\frac{\pi }{6}.10=\frac{10\pi }{3}[/tex3]

Queremos o arco externo portanto
[tex3]2\pi r - \widehat{AB} = 2\pi.10 - \frac{10\pi }{3}=\frac{50\pi }{3}[/tex3]
como são duas partes, esquerda e direita:
[tex3]2.\frac{50\pi }{3}=\boxed{\color{red}{\frac{100\pi}{3}}}[/tex3]