IME / ITA ⇒ (AFA - 1998) Números Complexos: Forma Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A representação trigonométrica do conjugado do número complexo [tex3]z=\(1+\sqrt{3}i\)^5 ,[/tex3] sendo [tex3]i[/tex3] a unidade imaginária e [tex3]k \in \mathbb{Z},[/tex3] é:

a) [tex3]32\cos\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)-32i\sen \left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)\cdot [/tex3]
b) [tex3]32\cos\left(\frac{5\pi}{4}+10k\pi\right)-32i\sen \left(\frac{5\pi}{4}+10k\pi\right)\cdot [/tex3]
c) [tex3]32\cos\left(\frac{5\pi}{6}+10k\pi\right)-32i\sen \left(\frac{5\pi}{6}+10k\pi\right)\cdot [/tex3]
d) [tex3]32\cos\left(\frac{5\pi}{3}+10k\pi\right)-32i\sen \left(\frac{5\pi}{3}+10k\pi\right)\cdot [/tex3]

Resposta:

---

d

[triplebig]

Seja [tex3]w=1+\sqrt{3}i[/tex3] . A forma trigonométrica de de [tex3]w[/tex3] é [tex3]2\cdot\text{cis}\(\frac{\pi}{3}\)[/tex3]

[tex3]w^5=2^5\cdot\text{cis}\(\frac{5\pi}{3}\)=32\cdot\cos\(\frac{5\pi}{3}\)+i\cdot32\cdot\text{sen}\(\frac{5\pi}{3}\)[/tex3]

O conjugado então é [tex3]32\cdot\cos\(\frac{5\pi}{3}\)-i\cdot32\cdot\text{sen}\(\frac{5\pi}{3}\)[/tex3]

O [tex3]10k\pi[/tex3] não muda o ângulo.

Letra d)

[jacobi]

Acontece que o conjugado se encontra no quarto quadrante, e lá a parte imaginária é negativa. Na letra d a resposta está
-[tex3]sen \frac{5\pi}{3}[/tex3]. Daí, quando resolver ficará positivo.