Pré-Vestibular ⇒ (EESC - 1959) Inequação

[ALDRINMOD]

Prove que [tex3]\sqrt{x}+\sqrt{1-x} \leq \sqrt{2}[/tex3] usando a desigualdade [tex3](u+v)^2+(u-v)^2=2(u^2+v^2)[/tex3] [tex3](0 \leq x \leq 1)[/tex3].

[triplebig]

usando a desigualdade [tex3](u+v)^2+(u-v)^2=2(u^2+v^2) (0 \leq x \leq 1)[/tex3].

Isso é uma igualdade :/

Por desiguladade de médias:

[tex3]\frac{x+\(\sqrt{2}-x\)}{2}\geq \sqrt{x\(\sqrt{2}-x\)}\;\Leftrightarrow\;\sqrt{2}\geq \sqrt{4x\(\sqrt{2}-x\)}\;\Right\; \sqrt{2}\geq \sqrt{f(x)}[/tex3]

O valor máximo de [tex3]f(x)={-}4x^2+4x\sqrt{2}[/tex3] é [tex3]{-}\frac{\Delta}{4a}=\frac{32}{16}=2[/tex3]

Logo [tex3]f(x)\leq 2[/tex3] e [tex3]\sqrt{f(x)}\leq \sqrt{2}[/tex3] .

Então [tex3]\sqrt{2}\geq \sqrt{f(x)}[/tex3] , está provado.

[ALDRINMOD]

É como está no livro.

[triplebig]

Continua sendo uma igualdade... como não está claro essa parte eu resolvi usando desigualdade de médias.