Olimpíadas ⇒ Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal Tópico resolvido

[rean]

A soma dos quatro algarismos logo após os [tex3]100[/tex3] primeiros algarismos depois da vírgula da expansão decimal de [tex3]\frac{1}{1990}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]5541[/tex3]
b) [tex3]5543[/tex3]
c) [tex3]5545[/tex3]
d) [tex3]5547[/tex3]
e) [tex3]5549[/tex3]

[AnthonyC]

Creio que há um erro no enunciado. Deveria ser "Os quatro algarismos" e não a soma deles.

Como estamos interessados em algarismos após os 100 primeiros, podemos multiplicar este número por [tex3]10^{100}[/tex3]. Desta forma, os 100 algarismos que não estamos interessados se tornarão a parte inteira do número, então precisamos apenas buscar a parte decimal:
[tex3]{10^{100}\over 1990}=\overline{a_1a_2\dots a_n} ~~,~~ \overline{n_1n_2n_3n_4...}[/tex3]
[tex3]{10^{100}\over 1990}=\overline{a_1a_2\dots a_n} +0,\overline{n_1n_2n_3n_4...}[/tex3]
[tex3]{10^{100}\over 1990}=N +0,\overline{n_1n_2n_3n_4...}[/tex3]
Assim, temos um inteiro mais um decimal. Da divisão euclidiana, sabemos que esse decimal corresponde ao resto da divisão [tex3]10^{100}\over 1990[/tex3] dividido por [tex3]1990[/tex3]. Portanto, precisamos encontrar o resto. Para isso usamos critério de congruência:

Se [tex3]a=N\cdot b+r[/tex3], então [tex3]a\equiv r(\mod b)[/tex3]

[tex3]10\equiv10 ~({\mod1990})[/tex3]

Se [tex3]a\equiv r(\mod b)[/tex3], então [tex3]a^n\equiv r^n(\mod b)[/tex3]

[tex3]10^5\equiv10^5 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^5\equiv100.000 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^5\equiv500 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]\(10^5\)^2\equiv(500)^2 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{10}\equiv250.000 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{10}\equiv1.250 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]\(10^{10}\)^2\equiv(1.250)^2 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{20}\equiv1.562.500 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{20}\equiv350 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]\(10^{20}\)^2\equiv(350)^2 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{40}\equiv122.500 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{40}\equiv1.110 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]\(10^{40}\)^2\equiv\(1.110\)^2 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{80}\equiv1.232.100 ~({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{80}\equiv 290 ~({\mod1990})[/tex3]

Se [tex3]a_1\equiv r_1 (\mod b)[/tex3] e [tex3]a_2\equiv r_2 (\mod b)[/tex3], então [tex3]a_1\cdot a_2\equiv r_1\cdot r_2(\mod b)[/tex3]

[tex3]10^{80}\cdot 10^{20}\equiv 290\cdot 350({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{100}\equiv 101.500({\mod1990})[/tex3]
[tex3]10^{100}\equiv 10 ({\mod1990})[/tex3]
Então:
[tex3]{10^{100}\over 1990}=N +{10\over1990}[/tex3]
[tex3]{10^{100}\over 1990}=N +{0,0050...}[/tex3]
Então os quatro primeiros dígitos após os 100 primeiros são 0050.

Pesquisando um pouco, acredito que a questão original queria saber da fração [tex3]1\over1999[/tex3]. Caso essa fosse a fração, o resultado seria a letra (d). O método de resolução nesse caso é exatamente o mesmo.