Ensino Superior ⇒ Inclinação e Equação da Reta Tangente Tópico resolvido

[luk06]

Dada a função a seguir, determinar a inclinação e a equação da reta tangente à curva resultante da interseção de z = f(x,y) com y = 1 no ponto (2, 1, -2).

[tex3]f(x,y)=4-x^2-2y^2[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Fazendo a interseção de z com y = 1, temos:

z = 4 - x² - 2.1² → z = f( x , y ) = 2 - x²

Daí,

f'( x , y ) = - 2x [tex3](ou \ \frac{\partial f}{\partial x}= -2x )[/tex3]

Então

f'( 2 , 1 ) = - 2.2 = - 4 ( inclinação da reta tangente à curva z = 2 - x² no ponto ( 2 , 1 , - 2 ) ).

Por outro lado, a equação da reta tangente à curva resultante da interseção de z = f(x,y) com y = 1 no ponto ( 2, 1 , - 2 ) na direção do eixo dos x é dada por:

[tex3]r:\begin{cases}
z-z_{0}=f'( x_{0} , y_{0} ).( x-x_{0} )\\
y=y_{0}
\end{cases}[/tex3]

Assim,

[tex3]r:\begin{cases}
z-(-2)=-4.( x - 2 )\\
y=1
\end{cases}[/tex3]

Portanto,

[tex3]r:\begin{cases}
z+2=-4.( x - 2 )\\
y=1
\end{cases}[/tex3]


Uma outra maneira de se resolver esta questão seria através do cálculo do vetor gradiente e depois aplicando o produto vetorial entre os dois "vetores normais" encontrados. É mais trabalhoso mais você irá chegar na mesma resposta encontrada acima que é:

[tex3]r:\begin{cases}
x=2-t \\
y=1 \\
z=-2 \ + \ 4t
\end{cases}[/tex3] → equação na forma paramétrica


Excelente estudo!