Pré-Vestibular ⇒ (CEDERJ 2020) - Cálculo de um volume de um sólido Tópico resolvido

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Considere o sólido obtido por revolução em torno do eixo x da região no primeiro quadrante
limitada pela parábola [tex3]y^{3}=x[/tex3] e pela linha x = 8. Calcule o volume deste sólido.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

De y³ = x → [tex3]y = \sqrt[3]{x}[/tex3] essa curva passa pelos pontos ( 0 , 0 ) e ( 8 , 2 ) então podemos concluir que os limites de integração são x = a = 0 e x = b = 8.

Assim, o volume de uma área rotacionada em torno do eixo x é dado por:

[tex3]V=π.\int\limits_{a}^{b}y^2 \ dx[/tex3]

[tex3]V=π.\int\limits_{0}^{8}\sqrt[3]{x^2} \ dx[/tex3]

[tex3]V=π.\int\limits_{0}^{8}x^\frac{2}{3} \ dx[/tex3]

[tex3]V=π.\left[\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}\right]_{0}^{8} [/tex3]

[tex3]V=π.\left[\frac{x^\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}}\right]_{0}^{8} [/tex3]

[tex3]V=π.\left[\frac{3\sqrt[3]{x^5}}{5}\right]_{0}^{8}[/tex3]

[tex3]V=\frac{3π}{5}.(\sqrt[3]{8^5}-\sqrt[3]{0^5})[/tex3]

[tex3]V=\frac{3π}{5}.(\sqrt[3]{(2^3)^5}-0)[/tex3]

[tex3]V=\frac{3π}{5}.(\sqrt[3]{(2^5)^3})[/tex3]

[tex3]V=\frac{3π.2^5}{5}[/tex3]

[tex3]V=\frac{3π.32}{5} = \frac{96π}{5}[/tex3]


Portanto, o volume procurado é [tex3]V=\frac{96π}{5}u.v.[/tex3]

Obs. Se foi o concurso da ( CEDERJ - 2020 ) , então tem alternativas, porque você não as postou??



Excelente estudo!