Olimpíadas ⇒ (OEMRJ-2001-Segunda Fase-nivel 1)

[jeffson]

O diretor de um colégio interno tem uma garrafa cheia de vinho trancada a chave no seu armário.Um aluno conseguiu uma cópia da chave,abriu o armário,bebeu metade do conteúdo da garrafa,completou a garrafa com água e recolocou-a no lugar.Deu a chave para um colega que fez a mesma coisa.
Quando o diretor percebeu,já havia menos de 1% de vinho na garrafa.
Quantos alunos,no mínimo,beberam da garrafa?

Desculpem amigos pois eu não tenho o gabarito dessa pergunta.

Um grande abraço para todos e Agradeço desde já!

[fabit]

Começou com 100%, baixou pra 50%, depois 25%, etc.

Então o percentual (sem o símbolo de porcentagem) é [tex3]\frac{100}{2^n}[/tex3] onde n é o número de "visitas" à garrafa.

[tex3]\frac{2^2.5^2}{2^n}<1[/tex3]

[tex3]2^2.5^2<2^n[/tex3]

[tex3]5^2<2^{n-2}[/tex3]

[tex3]25<2^{n-2}[/tex3]

[tex3]\log_2\(25\)<n-2[/tex3]

Vai ter que saber um log aí. O Elon diz que é bom decorar o log de 2 como 0,3010300.

[tex3]\log_2\(\frac{100}{4}\)+2<n[/tex3]

[tex3]n>\log_2\(100\)-\log_2\(4\)+2=2\log_2\(10\)-\cancel{2}+\cancel{2}=\frac{2}{\log\(2\)}=\frac{2}{0,3010300}[/tex3]

Se fizermos [tex3]\frac{2}{0,3}[/tex3] isso dá [tex3]\frac{20}{3}\approx6,7[/tex3].

Se fizermos [tex3]\frac{2}{0,32}[/tex3] isso dá [tex3]\frac{200}{32}=\frac{25}{4}=6,25[/tex3].

O mínimo então é 7.

[ALDRINMOD]

Outra solução:

A cada vez que um aluno realiza o procedimento, a quantidade de vinho é reduzida à metade. Assim, depois da n-ésima vez que um aluno bebeu o vinho, restará [tex3]\frac{1}{2^n}[/tex3] de vinho na garrafa. Agora o problema é determinar o menor inteiro tal que [tex3]\frac{1}{ 2^n} < \frac{1}{ 100} \to 2^n > 100[/tex3].

Por inspeção, [tex3]n = 7[/tex3].

[jeffson]

Excelente!
Fabit e ALDRIN muito obrigado pelas resoluções.

Que Deus abençoe vocês.

Grande Abraço!