Ensino Superior ⇒ Integral dupla -semi esfera e cilindro Tópico resolvido

[VitorOM]

Boa noite galera, vim correndo aqui nesse fórum pra ver se alguém me ajuda nessa questão, PROVA AMANHA :d.

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Determine o volume do sólido S formado pelos pontos que estão, simultaneamente, dentro da esfera [tex3]x^2+y^2+z^2=4[/tex3] e dentro do cilindro [tex3]x^2+y^2=1[/tex3]. Faça um esboço do sólido S.

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Minha duvida é como montar essa integral dupla. Os exercícios pedem para que seja por integral dupla. Vou tentar explicar mais ou menos o que eu to em duvida:

Na hora de montar a integral dupla em coordenadas polares eu teria que fazer a equação do semi circulo menos a equação do cilindro( foi dessa forma que foi explicado em sala de aula, o que limita o solido por cima menos o que limita por baixo). Só que na equação do cilindro eu tenho x²+y²=1, como eu faria isso? como ficaria a integral dupla?

Off Topic

Meu modo de explicar é longe de ser didático, por favor tentem entender.

Muito obrigado por qualquer ajuda!

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

A projeção do sólido S no plano xy é a própria projeção do cilindro x² + y² = 1 , ou seja , o disco x² + y² = 1 , já que o sólido S está simultaneamente dentro da esfera x² + y² + z² = 4 e dentro do cilindro x² + y² = 1. Para você comprovar essa situação basta você fazer a intersecção entre a esfera dada com o cilindro em questão


Então,

0 ≤ [tex3]\theta [/tex3] ≤ 2π ( volta trigonométrica completa ) e 0 ≤ r ≤ 1 ( distância da origem à curva x² + y² = 1 ).


Por outro lado, da esfera x² + y² + z² = 4 , em coordenadas polares, fica;

z = f( x , y ) = ± √( 4 - r² ) ( você terá que integrar "em cima" dessa função, observando a parte superior e a parte inferior , ou seja , por simetria podemos multiplicar a integral dupla por dois (2) ).


Assim, o volume S é dado por :

[tex3]V = 2\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}r\sqrt{4-r^2}drd\theta = \frac{4π}{3}.(8-3\sqrt{3} ) \ u.v.[/tex3]


Tem uma questão "parecida" para que você tome como modelo o esboço do sólido S, veja no link abaixo

viewtopic.php?f=8&t=75936&p=208104#p208104


Excelente estudo!