Ensino Médio ⇒ Radiciação nos complexos Tópico resolvido

[Natan]

Sendo [tex3]z=21+20i[/tex3] determine [tex3]\sqrt{z}[/tex3].

[triplebig]

[tex3]\rho=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{841}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\cos \theta=\frac{21}{\sqrt{841}}\\ \text{sen}\theta =\frac{20}{\sqrt{841}}\end{cases}[/tex3]

[tex3]z=\sqrt{841}\cdot \(\frac{21}{\sqrt{841}}+i\cdot\frac{20}{\sqrt{841}}\)\\
=\sqrt{841}\cdot\text{cis}(\theta)[/tex3]

[tex3]z^{\frac{1}{2}}=(\sqrt{841})^{\frac{1}{2}}\cdot\text{cis}\( \frac{\theta}{2}\)[/tex3]

[tex3]\cos \theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\;\Rightarrow\;\cos \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{\frac{21}{\sqrt{841}}+1}{2}}=\sqrt{\frac{21+\sqrt{841}}{2\sqrt{841}}}\\
\text{sen}\theta=2\cdot \cos\frac{\theta}{2}\cdot \text{sen}\frac{\theta}{2}\;\Rightarrow\;\text{sen}\frac{\theta}{2}=\frac{\frac{20}{\sqrt{841}}}{2\cdot \sqrt{\frac{21+\sqrt{841}}{2\sqrt{841}}}}=\frac{\frac{20}{\sqrt{841}}\cdot \sqrt{\frac{21+\sqrt{841}}{2\sqrt{841}}}}{\frac{21+\sqrt{841}}{\sqrt{841}}}\\
=\frac{20}{\sqrt{21+\sqrt{841}}}\cdot\sqrt{\frac{21+\sqrt{841}}{2\sqrt{841}}}[/tex3]

Assim [tex3]\sqrt{z}=\sqrt[4]{841}\cdot\(\sqrt{\frac{21+\sqrt{841}}{2\sqrt{841}}}+i\cdot\frac{20}{21+\sqrt{841}}\cdot\sqrt{\frac{21+\sqrt{841}}{2\sqrt{841}}}\)=\boxed{\sqrt{\frac{21+\sqrt{841}}{2}}+i\cdot10\cdot\sqrt{\frac{2}{21+\sqrt{841}}}}[/tex3]

Uau. Tomara que seja isso..

[Natan]

Uau mesmo!!!, também tentei fazer assim mas quando vi esses valores macabros pro seno e pro cosseno parti pra outra:

Seja:

[tex3]a+bi=\sqrt{z} \\
(a+bi)^2=21+20i \Rightarrow (a^2-b^2)+2abi=21+20i[/tex3] e daí vem o sistema:

[tex3]\begin{cases}a^2-b^2=21 \\ ab=10 \Rightarrow b=\frac{a}{10}\end{cases}[/tex3]

[tex3]a^2-\frac{a^2}{100}=21 \Rightarrow a^4-21a^2-100=0[/tex3] cujas raízes reais são [tex3]{-}5\, e\, 5.[/tex3]

Logo [tex3](a,\, b)=(-5,\, -2)\,; (5,\, 2)[/tex3]

Portanto [tex3]\sqrt{z}=-5-2i,\, 5+2i[/tex3]


você poderia ter atentado para o fato de que teríamos duas soluções e como na sua resolução você encontrou apenas uma teria algo errado.

[triplebig]

Bem mais fácil né... o que será que está de errado na solução :/

[Natan]

Não vi nada errado, só acho que se não for possível descobrir o valor de [tex3]\theta[/tex3] não tem como fazer por esse método. Imagina só se ele pedisse as raízes cúbicas??????, ai não tinha como.

[triplebig]

Hahahhaha... meu deus, que ridículo!! Você não vai acreditar...

Olha só que legal:

[tex3]\sqrt{841}=29[/tex3]



E a raíz de [tex3]z[/tex3] não pode ter dois valores, por definição de raíz. Por exemplo, [tex3]\sqrt{4}=2[/tex3] , e não [tex3]\pm2[/tex3] agora se quisermos o número [tex3]a[/tex3] tal que [tex3]a^2=4[/tex3] , aí sim temos [tex3]a=\pm2[/tex3] .
Isso fica mais claro na minha resolução. Ela teria duas respostas se [tex3]\cos \frac{\theta}{2} =\pm \sqrt{ \text{numero gigante} }[/tex3] . Mas como [tex3]\theta[/tex3] está no primeiro quadrante, é garantido que [tex3]\cos \theta > 0[/tex3] portanto só uma raíz vale.

Portanto a única resposta é [tex3]5+2i[/tex3]

[Natan]

Só teve um problema ai cara, olha só:

Denomina-se raíz enésima de um número complexo [tex3]z=\rho(cos\theta+isen\theta)[/tex3] a TODO número complexo [tex3]w^n=z,[/tex3] para [tex3]n=2,\, 3,\, 4,\, 5...[/tex3]

Portanto o que você citou vale apenas para os reais e logo as duas respostas são soluções.

[triplebig]

Ok, eu pensei nisso, mas na minha resolução fica claro que só vale a positiva, mas aí encontrei outro erro:

[tex3]z^{\frac{1}{2}}=\sqrt{841}^{\frac{1}{2}}+\text{cis}\(\frac{\theta}{2}+k\pi\)[/tex3] .

Assim [tex3]\cos\theta[/tex3] pode ser negativo também.

Quando alguma resolução estiver claramente errada, procure encontrar o erro, acaba sendo didático. Isso garante por exemplo, para que nenhum de nós, por esse post, fizermos o erro que eu fiz.

Abraços

[Natan]

Quando postei esse tópico eu queria ver a resolução de alguém como a sua, pois a minha dúvida é: o que fazer quando não dá pra achar o [tex3]\theta?[/tex3]