Olimpíadas ⇒ (ORRGS - 1998) Probabilidade Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

De cada uma de três varetas de mesmo comprimento [tex3]L,[/tex3] quebrou-se um pedaço. Calcular a probabilidade de que seja possível construir um triângulo com esses três pedaços.

[Alexandre_SC]

Temos três varetas de comprimento [tex3]a,[/tex3] [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] menor do que [tex3]1[/tex3] onde [tex3]c[/tex3] é a maior delas.
Com essas pode-se montar um triângulo se [tex3]a+b\gt c.[/tex3]

O ideal nessas situações é tentar imaginar um gráfico. Esse gráfico seria o seguinte:

Sendo [tex3]x[/tex3] o tamanho de [tex3]c[/tex3] e [tex3]y[/tex3] o tamanho de [tex3]a,[/tex3] o triângulo formado por esses valores teriam uma área de [tex3]0,5 \text{u.a.}[/tex3] Mas como [tex3]a+b\gt c[/tex3] colocamos [tex3]b[/tex3] em [tex3]z.[/tex3] Temos agora uma pirâmide de base [tex3]0,5 \text{u.a.}[/tex3] e altura de [tex3]1 \text{u.c.},[/tex3] sendo que seu volume representa a probabilidade de podermos formar um triângulo com esses lados.

• [tex3]V = \frac{B\cdot h}{3} = \frac{0,5}{3} \text{u.v.}[/tex3]

A probabilidade é de [tex3]16,6\%.[/tex3]

[ALDRINMOD]

Pessoal, resolução do site da obm-l, vou adaptar com os códigos "TEX":

"Bom, o problema nao explicita como a vareta é quebrada, mas acho razoavel supor que a distribuicao de probabilidade de cada pedaco eh uniforme em [tex3][0,L][/tex3] (em outras palavras, vou pressupor que, para cada pedaco, a probabilidade deste pedaco ter tamanho menor que [tex3]a[/tex3] eh [tex3]\frac{a}{L}[/tex3]).
Tambem eh super razoavel supor que as [tex3]3[/tex3] quebras sao independentes umas das outras.

Neste caso, voce pode identificar o processo de quebrar as [tex3]3[/tex3] varetas com a escolha de um ponto [tex3](x,y,z)[/tex3] no cubo [tex3][0,L] \times [0,L] \times [0,L][/tex3] (isto eh, vertice na origem, faces paralelas aos eixos, outro vertice em [tex3](L,L,L)[/tex3]). De acordo com esta identificacao (e mediante as hipoteses que eu fiz acima), a probabilidade de voce escolher um ponto que esteja dentro de um solido [tex3]S[/tex3] contido no cubo eh Volume [tex3]\frac{(S)}{L^3}[/tex3].

Deixa eu esclarecer esta afirmacao com um exemplo. Suponha que voce quer a probabilidade de termos [tex3]x<a[/tex3] e [tex3]y<b[/tex3] e [tex3]z<c[/tex3] para [tex3]a,b,c[/tex3] fixos entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]L[/tex3]. Bom, estas [tex3]3[/tex3] equacoes definem um paralelepipedozinho de volume [tex3]abc[/tex3] no espaco [tex3]x-y-z[/tex3] , entao teriamos [tex3]Pr(x<a[/tex3] e [tex3]y<b[/tex3] e [tex3]z<c)=\frac{abc}{L^3}[/tex3].

No caso do problema, queremos [tex3]x<y+z,\, y<x+z[/tex3] e [tex3]z<x+y[/tex3]. Desenhe isso -- eh o solido dentro do cubo e "dentro" da superficie composta por estes [tex3]3[/tex3] planos -- analiticamente, eh o tetraedro regular de vertices [tex3](0,0,0),(L,L,0),(L,0,L),(0,L,L)[/tex3] UNIAO com o tetraedro retangulo de vertices [tex3](L,L,0),(L,0,L),(0,L,L),(L,L,L)[/tex3]. Na figura anexa, eh o tetraedro colorido MAIS o tetraedro transparente no canto superior direito da figura.

Agora eh soh achar o volume deste solido por analitica, geometria ou sei lah. O volume do tetraedro colorido eh [tex3]\frac{\(L\sqrt{2}\)^3\cdot \sqrt{2}}{12}=\frac{L^3}{3}[/tex3] , enquanto o do cantinho superior eh [tex3]\frac{L^3}{6}[/tex3]. Somando e dividindo por [tex3]L^3[/tex3], voce acha a resposta, que eh [tex3]\frac{1}{2}=50\%[/tex3]".

Abraco,
Ralph