Ensino Médio ⇒ Bissetriz e semelhança Tópico resolvido

[matbatrobin]

O segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3] é dividido pelos pontos [tex3]K[/tex3] e [tex3]L[/tex3] se forma que [tex3](AL)^2=(AK)(AB)[/tex3]. Sabendo que [tex3]AP=AL[/tex3], prove que [tex3]\overline{PL}[/tex3] é bissetriz de [tex3]K\hat{P}B[/tex3].

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[triplebig]

Na figura, [tex3]C=K[/tex3] ?

[matbatrobin]

Tá concertado.

[matbatrobin]

Finalmente consegui resolver, no final não era um exercício tão difícil ... se quiserem posso postar a solução...
Divirtam-se

[triplebig]

Gostaria de ver sim, a minha ficou gigante

[matbatrobin]

[tex3]AP=AL\Rightarrow (AP)^2=(AK)(AB) \\ \frac{AP}{AK}=\frac{AB}{AP}[/tex3]

Olhando para os triângulos [tex3]APK[/tex3] e [tex3]APB[/tex3], vemos que compartilham o ângulo [tex3]\hat{A}[/tex3] e pela ralação acima temos um caso de semelhança [tex3]LAL[/tex3], então por semelhança [tex3]P\hat{K}A=B\hat{P}A[/tex3] e [tex3]K\hat{P}A=P\hat{B}A[/tex3].

Mas [tex3]P\hat{K}A[/tex3] é o ângulo externo do [tex3]\triangle KPB[/tex3], então [tex3]P\hat{K}A=K\hat{P}B+P\hat{B}K[/tex3], com isso:

(1)[tex3]P\hat{K}A=A\hat{P}B=B\hat{P}L+K\hat{P}L+A\hat{P}K[/tex3]
(2)[tex3]AP=AL\Rightarrow A\hat{P}L=A\hat{L}P=K\hat{P}L+A\hat{P}K[/tex3]

Porém [tex3]P\hat{K}A[/tex3] também é o ângulo externo de [tex3]\triangle KPL[/tex3], então:

(3)[tex3]P\hat{K}A=A\hat{L}P+K\hat{P}L[/tex3],
Combinando (1) e (3):

(4)[tex3]B\hat{P}L+K\hat{P}L+A\hat{P}K=A\hat{L}P+K\hat{P}L\Rightarrow A\hat{L}P=B\hat{P}L+A\hat{P}K[/tex3]

Combinando (2) e (4):

(5)[tex3]B\hat{P}L+A\hat{P}K=K\hat{P}L+A\hat{P}K\Rightarrow \boxed{B\hat{P}L=K\hat{P}L}[/tex3], logo [tex3]PL[/tex3] é a bissetriz de [tex3]K\hat{P}B[/tex3]