Ensino Fundamental ⇒ Eixo radical. Tópico resolvido

[geobson]

Os raios de duas circunferências de centros O₁ e O₂ medem, respectivamente, 5 e 3 . sabe- se que O₁O₂ = 10. Se o eixo radical dessas circunferências intercecta uma tangente exterior comum em "F" , calcule "O₁F".

Resposta

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7

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[geobson]

Sinceramente , estou com dificuldades para responder esta. Alguém poderia me ajudar com essa de eixo radical?por favor!

[NigrumCibum]

20201209_143628.jpg (17.77 KiB) Exibido 1559 vezes

Seja R o raio da circunferência de centro [tex3]O_1[/tex3], r o raio da circunferência de centro [tex3]O_2[/tex3], seja A o ponto onde a reta é tangente a [tex3]C_1[/tex3] e B o ponto onde a reta é tangente a [tex3]C_2[/tex3]. Bem, se o eixo radical dessas circunferências se intersecta em F, então [tex3]Pot_{(O_1)}F=Pot_{(O_2)}F ⇒FO_1^2-R^2=FO_2^2-r^2⇒FO_1^2-FO_2^2=16 ~(I).[/tex3] Aplicando pitágoras aos triângulos [tex3]AO_1F[/tex3] e [tex3]BO_2F[/tex3], obtemos as seguintes equações: [tex3]AF^2+AO_1^2=FO_1^2~(II)[/tex3] e [tex3]BF^2+BO_2^2=FO_2^2~(III).[/tex3] Subtraindo (II) por (III), obtém-se: [tex3]AF^2-BF^2+AO_1^2-BO_2^2=FO_1^2-FO_2^2 ⇒AF^2-BF^2+R^2-r^2=16 ⇒AF^2-BF^2+16=16⇒AF=BF.[/tex3] Por teorema, tem-se que [tex3]AB=\sqrt{O_1O_2^2-(R-r)^2}=4\sqrt{6}[/tex3], deste modo [tex3]AF=BF=2\sqrt 6[/tex3], e pela equação (II), conclui-se que: [tex3]FO_1^2=(2\sqrt 6)^2+5^2⇒FO_1=7.[/tex3]

[geobson]

Oh, se quiser o desenho pode pedir.

por favor ?

[NigrumCibum]

Oh, se quiser o desenho pode pedir.

por favor ?

Anexado.

[geobson]

NigrumCibum, obrigado;