Olimpíadas ⇒ Tangência Tópico resolvido

[NigrumCibum]

Seja P o ponto onde o A-exincírculo [tex3]\omega _A[/tex3] do triângulo ABC toca o lado BC. Sejam [tex3]I_1[/tex3] e [tex3]I_2[/tex3] os centros dos A-exincírculos em relação aos triângulos ABP e ACP, respectivamente. Prove que o circuncírculo do triângulo [tex3]I_1I_2P[/tex3] é tangente ao círculo [tex3]\omega _A.[/tex3]

Resposta

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Demonstração

[Ittalo25MOD]

as.png (71.18 KiB) Exibido 1424 vezes

- Marcando ângulos: <I1PI2 = 90°
- Mas P também está no círculo maior, então prolongando o ângulo de 90° ele vai para formar <QPR, onde Q e R são diametralmente opostos, assim como I1 e I2.
- Já dá para dizer que P é centro de homotetia dos triângulos PI1I2 e PRQ e então P, O e E são colineares? FelipeMartin

[FelipeMartinMOD]

Ittalo25, acho que ainda não.

Imagine dois círculos secantes em P e X
Prolongando qualquer ângulo de 90º em P neste caso você chega a mesma conclusão que você chegou: esse ângulo enxerga outro diâmetro no segundo círculo.
Então não necessariamente P é centro de homotetia. Os círculos podem ser secantes.

[Ittalo25MOD]

ka.png (85.42 KiB) Exibido 1398 vezes

DP é um tangente ao círculo I1 e PG é tangente ao círculo I2, portanto:
[tex3]\begin{cases}
DP = \frac{AB+AP+BP}{2} - AP \\
PG = \frac{AP+AC+PC}{2} - AP
\end{cases}[/tex3]

Mas no triângulo ABC:
[tex3]\frac{AB+AC+BC}{2} = PC+AC = AB+BP [/tex3]

Disso sai: [tex3]PG = DP[/tex3]

PO é base média do trapézio [tex3]DGI_2I_1 [/tex3] e assim: [tex3]<OPD = 90^o [/tex3], como [tex3]<EPD = 90^o [/tex3], então E,O e P são colineares e está feito.

[NigrumCibum]

Ittalo25, Eu acho que é a resposta correta. Mais 30 respostas e você consegue [tex3]10^3[/tex3]

[goncalves3718]

DP é um tangente ao círculo I1 e PG é tangente ao círculo I2, portanto:
{DP=AB+AP+BP2−APPG=AP+AC+PC2−AP{DP=AB+AP+BP2−APPG=AP+AC+PC2−AP

Por qual motivo? Poderia explicitar?

[NigrumCibum]

DP é um tangente ao círculo I1 e PG é tangente ao círculo I2, portanto:
{DP=AB+AP+BP2−APPG=AP+AC+PC2−AP{DP=AB+AP+BP2−APPG=AP+AC+PC2−AP

Por qual motivo? Poderia explicitar?

Acho que a explicação está tão clara quanto a luz dia. De qualquer forma....

20201209_182959.jpg (23.9 KiB) Exibido 1386 vezes

p é semiperímetro.

[Ittalo25MOD]

DP é um tangente ao círculo I1 e PG é tangente ao círculo I2, portanto:
{DP=AB+AP+BP2−APPG=AP+AC+PC2−AP{DP=AB+AP+BP2−APPG=AP+AC+PC2−AP

Por qual motivo? Poderia explicitar?

Dá uma olhada nesse vídeo: CIRCUNFERENCIA EXINSCRITA A UNA TRIANGULO DEMOSTRACION