Ensino Superior ⇒ EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas Tópico resolvido

[ceciliadeare]

Considere os PVIs abaixo:

I) y'' − y' − 2y = 0, y(0) = α, y'(0) = 2
II) 4x'' − x = 0, x(0) = 2, x'(0) = β

a) Determine o valor de α para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞;
b) Determine o valor de β para que a solução de II se aproxime de zero quando t → ∞.

Obrigada !!


o gabarito está na imagem

[Cardoso1979]

Observe

Muito obrigado por disponibilizar o gabarito, muito obrigado mesmo

Solução:

I) y'' - y' - 2y = 0 , y( 0 ) = [tex3]\alpha [/tex3] , y'( 0 ) = 2.

Temos

y'' - y' - 2y = 0

Equação característica ( equação auxiliar ) :

r² - r - 2 = 0

∆ = 9 > 0

Raízes [tex3]r_{1} = 2[/tex3] , [tex3]r_{2} = -1[/tex3].

Como ∆ > 0 , segue-se que a solução da EDO é da forma [tex3]y(t) = C_{1}.e^{r_{1}.t} \ + \ C_{2}.e^{r_{2}.t}
[/tex3]

Então,

[tex3]y(t) = C_{1}.e^{2t} \ + \ C_{2}.e^{-t}[/tex3]

Por outro lado,

y( 0 ) = [tex3]\alpha [/tex3], vem;

[tex3]y(0) = C_{1}.e^{2.0} \ + \ C_{2}.e^{-0}[/tex3]

[tex3]C_{1} \ + \ C_{2} = \alpha \ (I)[/tex3]

Ainda;

[tex3]y'(t) = (C_{1}.e^{2t})' \ + \ (C_{2}.e^{-t})'[/tex3]

[tex3]y'(t) = (2t)'.C_{1}.e^{2t} \ + \ (-t)'.C_{2}.e^{-t}[/tex3]

[tex3]y'(t) = 2C_{1}.e^{2t} - C_{2}.e^{-t}[/tex3]

y'( 0 ) = 2 , vem;

[tex3]y'(0) = 2C_{1}.e^{2.0} - C_{2}.e^{-0}[/tex3]

[tex3]2C_{1} - C_{2} = 2 \ ( II )[/tex3]


De ( I ) e ( I I ) , resulta no seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
C_{1} \ + \ C_{2} = \alpha \\
2C_{1} - C_{2} = 2
\end{cases}[/tex3]

Donde encontramos [tex3]C_{1} = \frac{\alpha + 2}{3}[/tex3] e [tex3]C_{2} = \frac{2\alpha - 2}{3}[/tex3].

Assim,

[tex3]y(t) = \left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} \ + \ \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t}[/tex3]

De acordo com o enunciado para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞ , devemos ter

[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left[\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} \ + \ \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t} \right]= 0[/tex3]

o valor desse limite só se aproxima de zero se o termo [tex3]\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} [/tex3] for igual a zero, ou seja;

[tex3]\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} = 0 [/tex3]

[tex3]\alpha + 2 = 0[/tex3]

Logo,

[tex3]\alpha = - 2[/tex3]


Portanto, o valor de α para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞ , é α = - 2.

Obs.1 A II segue o "mesmo" raciocínio desta resolução


Obs.2

[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t} =[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{e^t} =[/tex3]

[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{e^∞} =[/tex3]

[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{∞} =[/tex3]

[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).0 = 0[/tex3]



Excelente estudo!

[ceciliadeare]

Nossa fantástico, muito obrigada, me ajudou muito nessa faze de EAD !

[Cardoso1979]

Nossa fantástico, muito obrigada, me ajudou muito nessa faze de EAD !

Disponha