Ensino Fundamental ⇒ Circunferências tangentes externamente Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, T e N são pontos de tangência , AB =7 e BC =3, calcular CN.

Resposta

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7,5

[jvmago]

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[jvmago]

Essa questão morre com uma simples propriedade, trace PT tangente comum as duas circunferências e pronto! Pelo fato de BnT=90 então P é ponto médio de BN tal que por potencia de ponto temos

[tex3]\frac{(x+3)^2}{4}=\frac{(x+3-6)(x+3+14)}{4}[/tex3] resolvendo isso temos

[tex3]x²+6x+9=x²+14x-51[/tex3] donde sai

[tex3]8x=60[/tex3]
[tex3]x=7.5[/tex3]

PIMBADA

[geobson]

jvmago, legal essa questão . pensei que fosse mais difícil ( he he) .
Obrigado.

[jvmago]

Tem que tomar cuidado, ela leva a crer que devemos usar potencia de ponto! Derrepente A,B,C,N formam uma quarteto harmônica, tem que testar depois

[FelipeMartinMOD]

dá pra mostrar que [tex3]TN[/tex3] é bissetriz externa do [tex3]\triangle ATC[/tex3] com um pouquinho de esforço, acho inclusive que já fizemos isso em outro tópico

[NigrumCibum]

FelipeMartin,
Na verdade a prova é fácil, basta uma aplicação direta da lei dos senos, então: [tex3]\frac{7}{3}=\frac{10+CN}{CN}⇒CN=7,5[/tex3]
Na primeira vez que eu vi eu pensei na circunferência de Apolônio e resolvi num instante, acredito que independente da localização de C (entre B e N) os pontos formarão um quarteto harmônico...

[jvmago]

FelipeMartin,
Na verdade a prova é fácil, basta uma aplicação direta da lei dos senos, então: [tex3]\frac{7}{3}=\frac{10+CN}{CN}⇒CN=7,5[/tex3]
Na primeira vez que eu vi eu pensei na circunferência de Apolônio e resolvi num instante, acredito que independente da localização de C (entre B e N) os pontos formarão um quarteto harmônico...

Acredito que valerá sempre! Tenho algumas demonstrações sobre isso aqui, pretendo postar mais tarde juntos com as resoluções trigonométricas no triângulo qualquer

[FelipeMartinMOD]

NigrumCibum, de fato será sempre uma quádrupla harmônica pois como [tex3]TN[/tex3] é bissetriz externa e [tex3]\angle NTB = 90^{\circ}[/tex3] então TB é bissetriz interna do triângulo. A lei dos senos reflete esse fato. A prova de que é bissetriz externa não é difícil, basta traçar a reta tangente em comum por T

[geobson]

NigrumCibum, de fato será sempre uma quádrupla harmônica pois como [tex3]TN[/tex3] é bissetriz externa e [tex3]\angle NTB = 90^{\circ}[/tex3] então TB é bissetriz interna do triângulo. A lei dos senos reflete esse fato. A prova de que é bissetriz externa não é difícil, basta traçar a reta tangente em comum por T

A dúvida é a seguinte : prova-se que TB é bissetriz interna , pressunpondo-se que existe aquela quádrupla harmônica ou não apenas conclui- se que existe a quádrupla harmônica apos se provar que TB é bissetriz( sem saber que exuste a quádrupla)?