Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Triângulo genérico e paralelas Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente? Sup? Poderiam me ajudar nessa questão aqui, por favor? Acho que nem entendi o que o enunciado realmente quis dizer...

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Poliedro — P é um ponto interior de um triângulo de lados a, b e c, pelo qual se traçam paralelas aos lados do triângulo. Se os segmentos das paralelas compreendidas entre os lados do triângulo têm a mesma medida, calcule o seu valor.

Resposta

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[tex3]\mathrm{2abc \over ab + ac + bc}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

Acho que é isso aqui:

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Ele diz que [tex3]XY = ZW = MN = k[/tex3] e quer calcular [tex3]k[/tex3] em função de [tex3]a,b,c[/tex3].

[anastacialina]

@FelipeMartinMOD,

Eu tentei! Juro... mas não saiu nada, bem para dizer que não saiu nada cheguei a conclusão que 0 = 0. *claps, claps, claps*

[FelipeMartinMOD]

anastacialina,

anas.png (15.06 KiB) Exibido 1566 vezes

Veja que [tex3]\triangle ACB \sim \triangle XCY[/tex3] já que todos seus ângulos são iguais uma vez que [tex3]XY \parallel AB[/tex3].

Logo:

[tex3]\frac{XY}{AB} = \frac{CX}{AC} \iff CX = k \cdot \frac{b}{c}[/tex3]

Analogamente:

[tex3]BW = k \cdot \frac cb[/tex3] e [tex3]AM = k \cdot \frac{b}{a}[/tex3]

então vamos ver: [tex3]AXPW[/tex3] é um paralelogramo e seu lado [tex3]PX[/tex3] mede [tex3]AW = c - BW[/tex3].

Mas temos [tex3]\triangle MXP \sim \triangle CAB[/tex3] por terem os mesmos ângulos (por conta do paralelismo):

[tex3]\frac{PX}{MP} = \frac{c}{a}[/tex3] então: [tex3]MP = \frac ac PX = \frac ac (c - k \frac cb) = a(1-\frac k b)[/tex3]

analogamente [tex3]PN = a(1- \frac k c)[/tex3] e [tex3]PM + PN = MN = k \iff a(2 - \frac k b - \frac k c) = k[/tex3]

de onde: [tex3]2 = k (\frac1a +\frac1b +\frac1c )[/tex3].

Multiplica os dois lados por [tex3](abc)[/tex3]:

[tex3]2abc = k(ab+bc+ac)[/tex3] então

[tex3]k = \frac{2abc}{ab+bc+ac}[/tex3].

[anastacialina]

@FelipeMartinMOD,
Eita, achei bem chatinha... mas entendi com perfeição. Meu herói! ♥♥♥

[FelipeMartinMOD]

anastacialina, o ITA não cobra muita geometria plana nesse nível. Eles geralmente focam mais nas fórmulas básicas do ensino médio. Compensa mais estudar geometria analítica e os problemas de plana mais de vestibular mesmo pra passar lá, então não se preocupa se esse problema for meio cabeludo.

[anastacialina]

@FelipeMartinMOD, muito obrigada pela dica. Vou segui-la, sim! Bem, apenas saiba que eu tentei fazê-la meramente porque meu livro (Matemática 1, 2, 3, 4, Poliedro) trouxe esses exercícios. Esse livro nem é especializado no ITA, mas como é de um cursinho muito bom, resolvi fazê-los, e sinceramente sinto que estou evoluindo. Ah... eu estou bem na base ainda, sei quase nada... mas vou chegar em geometria analítica daqui um prazo e vou aplicar seus ensinamentos. ♥♥♥

P.S.: depois de bem analisar o exercício, vi que não parace ser tão difícil assim, eu que fui meio moca e achei pelo em ovo... mas reconheço que não fui capaz de resolvê-lo sozinha, LOL. Quando eu acho que entendo algo pra valer eu tento fazer sozinha, foi o que fiz, "fechei" o PC e fiz sozinha; até quis não usar os lados que você usou para ver se conseguia. Adivinha? Consegui! Yay for me!