Olimpíadas ⇒ Diagonais do polígono Tópico resolvido

[matbatrobin]

Prove que o número de diagonais de um polígono de [tex3]n[/tex3] lados é [tex3]\frac{n(n-3)}{2}[/tex3].

Detalhe: eu só consigo provar por análise combinatória, mas esse exercício estava numa lista de indução, então, por favor, tentem provar por indução!

[triplebig]

Test para [tex3]n=3[/tex3]:

[tex3]d_3=\frac{3(3-3)}{3}=0[/tex3]

Certo.

Teste para [tex3]n=k[/tex3]:

[tex3]d_k=\frac{k(k-3)}{2}[/tex3]

Teste para [tex3]n=k+1[/tex3] :

[tex3]d_{k+1}=\frac{(k+1)(k-2)}{2}=\frac{k^2-3k}{2}+\frac{2k-2}{2}\;\Leftrightarrow \;d_{k+1}=d_k+k-1[/tex3]

Que é uma relação conhecida entre o número de diagonais de polígonos com números consecutivos de lados.