Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Demonstração com pontos notáveis de triângulo

[anastacialina]

Oi, gente? Sup? Poderiam me ajudar nessa questão aqui, por favor? olhe o que eu fiz: a partir da hipótese de que a reta formada pelo baricentro e o incentro é paralela ao lado BC do triângulo eu consegui chegar a conclusão que BC é média aritmética de AB e AC. Mas será que o fato de BC ser média aritmética de AB e AC faz necessáriamente que os lados estejam em progressão aritmética? Ou minha resposta não garante isso? That's all folks! ♥♥♥

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Poliedro — Em um triângulo ABC, a reta r que passa pelo baricentro e o incentro é paralela ao lado [tex3]\mathrm{\overline{BC}}[/tex3] do triângulo. Demonstrar que os lados do triângulo formam uma progressão aritmética.

[FelipeMartinMOD]

sua resposta garante isso sim, se:

[tex3]b = \frac{a+c}2 \implies 2b = a+c \iff b-a = c-b = r[/tex3]

então pronto se [tex3]r = b-a[/tex3] então [tex3]a,b,c[/tex3] estão nessa ordem em P.A de razão [tex3]r[/tex3]

[anastacialina]

Não, isso não foi proposto na minha resposta não. Você poderia analisá-la, por favor? Olha só:

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[tex3]\mathrm{\overline{MI} = \overline{MB} \, \, ; \, \, \overline{MB} = {\overline{AB} \over 3} \\
\overline{IN} = \overline{BN} \, \, ; \, \, \overline{BN} = {\overline{AC} \over 3} \\
\overline{MI} + \overline{IN} = \overline{MN} \, \, ; \, \, \overline{MN} = \frac{2}{3} \overline{BC} \\
\frac{\overline{AB}}{3} + \frac{\overline{AC}}{3} = \frac{2}{3} \overline{BC} \\
\overline{BC} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

é exatamente isso que você fez. Ai você perguntou: o fato de um lado ser a média dos outros dois garante que os lados estão em P.A? Resposta: Sim. O lado paralelo a linha GI é o termo médio da P.A.

[anastacialina]

Eu sempre me confundo com essa setas, nunca sei quando realmente usar usa uma ou outra. Você escreveu: [tex3]b = \frac{a+c}2 \implies 2b = a+c \iff b-a = c-b = r[/tex3]
Por que não seria [tex3]b = \frac{a+c}2 \iff 2b = a+c \iff b-a = c-b = r[/tex3] ou até mesmo [tex3]b = \frac{a+c}2 \implies 2b = a+c \implies b-a = c-b = r[/tex3]? Qual seria a diferença? Como saber a diferença?

Setinhas do demo!

[FelipeMartinMOD]

anastacialina, excelente pergunta. A setinha significa implicação:

[tex3]A \implies B[/tex3] significa "A implica B". Por exemplo: "16 é múltiplo de 4 [tex3]\implies[/tex3] 16 é par".
Note que nem sempre a volta é verdadeira: "16 é par" não implica que "16 é múltiplo de 4".

Quando "A implica B" e "B implica A" ([tex3]A \implies B[/tex3] e [tex3]B \implies A[/tex3]) dizemos que [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são "equivalentes", ou que "A acontece se, e somente se, B" ([tex3]A \iff B[/tex3]). O que significa que estamos dizendo a mesma coisa com outras palavras, por exemplo:

"n é par se, e somente se, n é divisível por 2".

Repare que quando [tex3]A \iff B[/tex3] podemos dizer que [tex3]A \implies B[/tex3], mas a volta(recíproca) não é verdadeira: quando [tex3]A \implies B[/tex3] não necessariamente [tex3]A \iff B[/tex3].

No seu caso temos [tex3]A = \text{"três números reais }a,b,c\text{ estão em P.A"}[/tex3] e [tex3]B = "b = \frac{a+c}2"[/tex3].

Você queria verificar que [tex3]B \implies A[/tex3].

Realmente [tex3]b = \frac{a+c}2 \iff 2b = a+c[/tex3] e não teria problema de eu escrever isso, mas [tex3]b = \frac{a+c}2 \implies 2b = a+c[/tex3] já me bastava.

Rigorosamente falando, é verdade que [tex3]A \iff B[/tex3] e então a sua linha do meio seria a mais completa, mas todas as três linhas que você escreveu são verdadeiras.

[anastacialina]

Bem, acho que estou entendendo... mas ainda me sinto meia moca com relação a isso. Tipo... isso daqui que eu pensei seria válido?
x = 1 → x² = 1
x² = 1 "não →" x = 1
*Eu não sei como representar não a ideia de não impliar com símbolo

Outro: x + 1 = 2 ↔ x = 1

Seria isso válido?