Ensino Médio ⇒ Semelhança espiral/Roto-Homotetia

[FelipeMartinMOD]

A semelhança espiral, também conhecida como roto-homotetia, é uma composição de uma homotetia com uma rotação ambas centradas em um mesmo ponto. Não e difícil ver que a ordem dessas operações não importa: você pode primeiro fazer a rotação e depois a homotetia ou ao contrário.

A roto-homotetia é justamente a multiplicação entre dois números completos e ela se degenera em uma simples rotação quando a homotetia tem razão [tex3]1[/tex3] e se degenera em uma homotetia quando se girar de um ângulo [tex3]2\cdot k \cdot \pi[/tex3] radianos, para algum [tex3]k[/tex3] inteiro. Geralmente [tex3]k=0[/tex3].

Alguns fatos triviais que não serão demonstrados:

1- A roto-homotetia preserva ângulos.

2- A imagem de retas paralelas entre si são novas retas paralelas entre si (mas não necessariamente paralelas às retas originais).

3- Via de regra, só há um ponto fixo em uma roto-homotetia: seu centro.

Lema 1-) Se houver dois pontos (distintos) fixos em uma roto-homotetia, então todos os pontos do plano são fixos.

Demo:

Convencionemos que a origem do plano complexo é o centro de roto-homotetia e que sua razão seja o número complexo [tex3]z_1 \neq 0[/tex3]. De forma que a imagem do número complexo [tex3]z[/tex3] é [tex3]z \cdot z_1[/tex3]. Se existe [tex3]z_2 \neq 0[/tex3] tal que [tex3]z_2 \cdot z_1 = z_2[/tex3], então [tex3]z_2(z_1-1) = 0[/tex3] de onde ou [tex3]z_2 = 0[/tex3] o que é absurdo, pois supomos que há dois pontos distintos que são fixos, ou então [tex3]z_1 = 1[/tex3] o que implica que a imagem de qualquer [tex3]z \in \mathbb C[/tex3] é [tex3]z \cdot 1 = z[/tex3] c.q.d.

4- A composição de roto-homotetias geralmente é uma roto-homotetia, apesar de poder ser uma translação em alguns casos particulares (a prova deste teorema é meio complicada).

Lema 2-) Dados dois segmentos de reta distintos: [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] (tais que [tex3]ABCD[/tex3] não seja um paralelogramo), existe uma única roto-homotetia que leva o segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3] em [tex3]\overline{CD}[/tex3] e vice-versa.

Demo:

roto-homotetia.png (39.23 KiB) Exibido 1673 vezes

- Seja [tex3]P = AC \cap BD[/tex3], então [tex3]E = (ABP) \cap (CDP) \neq P[/tex3] é o centro da roto-homotetia desejada, pois:

[tex3]ABPE[/tex3] e [tex3]CDPE[/tex3] são quadriláteros cíclicos, então [tex3]\angle AEB = \angle APB = \angle DPC = \angle CED[/tex3].
Além disto, [tex3]\angle EAB = 180^{\circ} - \angle BPE = \angle EPD = \angle ECD[/tex3], logo [tex3]\triangle EAB \sim \triangle ECD[/tex3] de onde seus lados respeitam a razão da homotetia e claramente o ângulo de rotação centrado em [tex3]E[/tex3] é fixo. Logo [tex3]E[/tex3] é centro da roto-homotetia que mapeia [tex3]\overline{AB}[/tex3] em [tex3]\overline{CD}[/tex3] e vice-versa. A prova que só existe um centro de roto-homotetia neste caso pode ser feita com números complexos.

5- Se [tex3]O[/tex3] é centro de roto-homotetia que leva [tex3]A[/tex3] em [tex3]C[/tex3] e [tex3]B[/tex3] em [tex3]D[/tex3], então [tex3]O[/tex3] também é centro da roto-homotetia que leva [tex3]A[/tex3] em [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] em [tex3]D[/tex3].

Algumas aplicações:

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