Pré-Vestibular ⇒ (UFV-MG) Números complexos Tópico resolvido

[Natan]

Determine o complexo [tex3]z[/tex3] que satisfaça às igualdades:

[tex3]\left|\frac{z-4}{z-8}\right|=1[/tex3] e [tex3]\left|\frac{z-12}{z-8i}\right|=\frac{5}{3}[/tex3]

[matbatrobin]

[tex3]\left|\frac{w}{x}\right|=\frac{|w|}{|x|}\,,\,\,w,x\in \mathbb{C}\Rightarrow \frac{|z-4|}{|z-8|}=\left|\frac{z-4}{z-8}\right|\Rightarrow \begin{cases}|z-4|=|z-8| \\ 3|z-12|=5|z-8i|\end{cases} \\ \,[/tex3]
[tex3]\, \\ \text{Para}\,\, z=a+bi: \\ \, \\ \sqrt{(a-4)^2+b^2}=\sqrt{(a-8)^2+b^2}\Rightarrow (a-4)^2=(a-8)^2\Rightarrow a=6[/tex3]

[tex3]3\cdot \sqrt{(-6)^2+b^2}=5\cdot \sqrt{6^2+(b-8)^2}\Rightarrow 9(36+b^2)=25(36+b^2-16b+64)\Rightarrow b_1=8\,\,\text{ou}\,\,b_2=17[/tex3]

Então temos os complexos [tex3]z_1=6+8i[/tex3] e [tex3]z_2=6+17i[/tex3]

[Natan]

Não entendi o porque daquelas condições iniciais, e se desse pra explicar os cálculos posteriores também...

valeu!

[matbatrobin]

o módulo da divisão é igual a divisão dos módulos então podemos reescrever o sistema daquele jeito.