Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP 2021) PG e Função do 2º Grau Tópico resolvido

[MateusQqMDMOD]

Sejam [tex3]a,[/tex3] [tex3]b,[/tex3] [tex3]c[/tex3] termos consecutivos de uma progressão geométrica sem nenhum termo nulo e [tex3]p(x)[/tex3] o polinômio de grau 2 dado por [tex3]p(x) = a + bx + cx^2.[/tex3] Se [tex3]a[/tex3] é positivo, qual das figuras abaixo pode representar corretamente o gráfico de [tex3]p(x)[/tex3]?

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[MateusQqMDMOD]

Sejam [tex3]a,[/tex3] [tex3]b,[/tex3] [tex3]c[/tex3] termos consecutivos de uma progressão geométrica, então [tex3]b = a\cdot q[/tex3] e [tex3]c = a \cdot q^2,[/tex3] em que [tex3]q[/tex3] é a razão da progressão geométrica, e daí

[tex3]p(x) = a + a\cdot q x + a \cdot q^2 x^2,[/tex3]

Como p(x) é uma função do segundo grau, podemos calcular suas raízes por meio de Bhaskara. O discriminante da equação [tex3]a + a\cdot q x + a \cdot q^2 x^2 = 0[/tex3] é

[tex3]\begin{aligned}\Delta & = (a\cdot q)^2 - 4 \cdot (a \cdot q^2) \cdot (a) \\ & = -3a^2\cdot q^2\end{aligned}[/tex3]

Como o discriminante é menor que zero (pois [tex3]a[/tex3] e [tex3]q[/tex3] são diferentes de 0), o gráfico de [tex3]p(x)[/tex3] não deve tocar o eixo [tex3]x.[/tex3] Isso acontece na letra a).