Olimpíadas ⇒ Desigualdade com parte inteira Tópico resolvido

[goncalves3718]

Seja [tex3]x>1[/tex3] um real que não é inteiro. Prove que

[tex3]\left(\dfrac{x +\{x\}}{\lfloor x \rfloor } - \dfrac{\lfloor x \rfloor }{x+ \{x\}} \right) + \left( \dfrac{x+ \lfloor x \rfloor}{ \{ x \}} - \dfrac{\{x\}}{x+ \lfloor x \rfloor} \right) > \dfrac{16}{3}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

[tex3]x=a+b [/tex3] onde [tex3]\begin{cases}
a=\lfloor x \rfloor \\
b=\{x\}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{x+b}{a}-\frac{a}{x+b}+\frac{x+a}{b}-\frac{b}{x+a}> [/tex3]
[tex3]\frac{a+2b}{a}-\frac{a}{a+2b}+\frac{b+2a}{b}-\frac{b}{b+2a}> [/tex3]
[tex3]\frac{a+2b}{a}+1-\frac{a}{a+2b}-1+\frac{b+2a}{b}+1-\frac{b}{b+2a}-1> [/tex3]
[tex3]\frac{2a+2b}{a}-\frac{2a+2b}{a+2b}+\frac{2b+2a}{b}-\frac{2a+2b}{b+2a}> [/tex3]
[tex3]2x\cdot (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{b+2a})> [/tex3]
[tex3]2x\cdot (\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x+b}+\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})> [/tex3]
[tex3]2x\cdot (\frac{x+b-x+b}{x^2-b^2}+\frac{x+a-x+a}{x^2-a^2})> [/tex3]
[tex3]4x\cdot (\frac{b}{x^2-b^2}+\frac{a}{x^2-a^2})> [/tex3]
[tex3]4(a+b)\cdot (\frac{b}{a^2+2ab}+\frac{a}{b^2+2ab})> [/tex3]

Precisamos de:

[tex3]\frac{b}{a^2+2ab}+\frac{a}{b^2+2ab}> \frac{4}{3(a+b)} [/tex3]
[tex3]\frac{(3a+3b)(b^3+2ab^2+a^3+2a^2b)-4(a^2+2ab)(b^2+2ab)}{3(a+b)(a^2+2ab)(b^2+2ab) }> 0 [/tex3]
[tex3]3a^4+a^3b- 8a^2b^2+ab^3+3b^4>0 [/tex3]
Repara que um polinômio simétrico.
Se considerarmos na variável a, então b será raiz. Dá para fatorar com a-b então
[tex3]3a^4+a^3b- 8a^2b^2+ab^3+3b^4>0 [/tex3]
[tex3](a-b)\cdot (3a^3+4a^2b-4ab^2-3b^3)>0 [/tex3]
Novamente um fator simétrico. Se considerarmos na variável a, então b será raiz. Dá para fatorar com a-b então
[tex3](a-b)^2 \cdot (3a^2+7ab+3b^2) >0[/tex3]

Então pronto:
[tex3](3a^2+7ab+3b^2)>0[/tex3]
e também: [tex3](a-b)^2 > 0 [/tex3]