Ensino Médio ⇒ Geometria ponto simétrico Tópico resolvido

[Babi123]

No [tex3]\Delta ABC[/tex3] [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3], [tex3]H[/tex3] é ortocentro. Prove que se [tex3]H'[/tex3] é o simétrico de [tex3]H[/tex3] com relação a [tex3]M[/tex3] então [tex3]H'[/tex3] está no círcunferência.

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[FelipeMartinMOD]

esse enunciado tá errado. Se H' for só um ponto qualquer da circunferência, então ele pode não ser o simétrico de H. Acho que você quer mostrar que se H' for o simétrico de H, então ele está na circunferência, não?

Pra isso é só notar que AHCH' é paralelogramo, já que suas diagonais se cruzam em seus pontos médios.

[Babi123]

esse enunciado tá errado. Se H' for só um ponto qualquer da circunferência, então ele pode não ser o simétrico de H. Acho que você quer mostrar que se H' for o simétrico de H, então ele está na circunferência, não?

É isso mesmo vou editar.


Sobre o paralelogramo eu conseguir ver que [tex3]AH\parallel CH'[/tex3] e que [tex3]AH=CH'[/tex3], mas o outro paralelismo e congruência ainda não vi.

[FelipeMartinMOD]

Babi123, Você concorda que [tex3]\triangle HMA \cong H'MC[/tex3] por L-A-L em M?

Dessa forma, [tex3]\angle MH'C = \angle MHA[/tex3] e, como [tex3]H,M[/tex3] e [tex3]M'[/tex3] são alinhados, então [tex3]HA \parallel H'C[/tex3].

Agora é só ver que [tex3]\triangle HMC \cong \triangle H'MA[/tex3] por L-A-L em M que dai [tex3]HC \parallel H'A[/tex3].

Em um quadrilátero, quando as diagonais se encontram no ponto médio das duas, temos que ele é necessariamente um paralelogramo.

[Babi123]

Babi123, Você concorda que [tex3]\triangle HMA \cong H'MC[/tex3] por L-A-L em M?

Dessa forma, [tex3]\angle MH'C = \angle MHA[/tex3] e, como [tex3]H,M[/tex3] e [tex3]M'[/tex3] são alinhados, então [tex3]HA \parallel H'C[/tex3].

Agora é só ver que [tex3]\triangle HMC \cong \triangle H'MA[/tex3] por L-A-L em M que dai [tex3]HC \parallel H'A[/tex3].

Em um quadrilátero, quando as diagonais se encontram no ponto médio das duas, temos que ele é necessariamente um paralelogramo.

Ótimo FelipeMartin, entendi. Faltou eu usar a hipótese que [tex3]H'[/tex3] é o simétrico de [tex3]H[/tex3] com relação a [tex3]M[/tex3] para chegar na congruência

[FelipeMartinMOD]

dai, como [tex3]\angle AHC = 180^{\circ} - \angle ABC[/tex3], então [tex3]\angle AH'C + \angle ABC = 180^{\circ}[/tex3] e então [tex3]ABCH'[/tex3] é cíclico.

[Babi123]

Última : Como faz para provar que os pontos [tex3]B[/tex3], o circuncentro [tex3]O[/tex3] e [tex3]H'[/tex3] são colineares?

[FelipeMartinMOD]

Babi123, como [tex3]\angle H'AC = \angle ACH = 90^{\circ} - \angle CAB[/tex3], então:

[tex3]\angle BAH' = \angle CAB + \angle H'AC = 90^{\circ}[/tex3], portanto [tex3]BH'[/tex3] é diâmetro do circuncírculo.

[Babi123]

Perfeito Felipe obgda