Ensino Superior ⇒ Transformada Inversa de Laplace Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 26045)]

s^2 - 1
_________________
(s + 2)(s^2 + 2s + 2)

Olá, estou com dificuldade para resolver está transformada inversa de Laplace. Já sei a resposta final mas não sei como chegar até ela,
até agora cheguei até aqui: 3/ 2(s+2) * Bs + C/ 2(s^2 + 2s + 2)

se alguém puder me ajudar ficarei grato..

a resposta é essa:
(3/2* e^-2t) - (1/2*e^-t*cos(t)) - (3/2*e^-t*sin(t))

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\frac{s^2-1}{(s+2)(s^2+2s+2)}[/tex3]

Vamos separar a função em frações parciais, temos

[tex3]\frac{s^2-1}{(s+2)(s^2+2s+2)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B+Cs}{s^2+2s+2}[/tex3]

Desenvolvendo, resulta;

[tex3]\frac{1.s^2+0.s-1}{(s+2)(s^2+2s+2)}=\frac{(A+C).s^2+(2A+B+2C).s+(2A+2B)}{(s+2)(s^2+2s+2)}[/tex3]

Agora basta você comparar os termos e igualar os coeficientes correspondentes, fica;

[tex3]\begin{cases}
A+C=1 \\
2A+B+2C=0 \\
2A+2B=-1 \\
\end{cases}[/tex3]

Do sistema acima , encontramos [tex3]A = \frac{3}{2}[/tex3] , B = - 2 , [tex3]C = - \frac{1}{2}[/tex3].

Assim,

[tex3]\mathscr L^{-1}\left\{\frac{s^2-1}{(s+2)(s^2+2s+2)}\right\}=\mathscr L^{-1}\left\{\frac{3}{2(s+2)}+\frac{-4-s}{2(s^2+2s+2)}\right\}[/tex3]

[tex3]=\mathscr L^{-1}\left\{\frac{3}{2(s+2)}+\frac{-s-1-3}{2(s^2+2s+2)}\right\}[/tex3]

Como a transformada inversa é linear, podemos escrever assim

[tex3]=\frac{3}{2}.\mathscr L^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}-\frac{1}{2}.
\mathscr L^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^2+2s+1+1}\right\}-\frac{3}{2}.\mathscr L^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+2s+1+1}\right\}[/tex3]

[tex3]=\frac{3}{2}.\mathscr L^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}-\frac{1}{2}.
\mathscr L^{-1}\left\{\frac{s+1}{(s+1)^2+1}\right\}-\frac{3}{2}.\mathscr L^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\right\}[/tex3]


Lembrando que

[tex3]\mathscr L\left\{e^{-\alpha.t} \right\}=\frac{1}{s + \alpha } = \frac{1}{s+2}[/tex3] ;

[tex3]\mathscr L\left\{ e^{-\alpha .t}.cos (b.t)\right\}=\frac{s+\alpha }{(s+\alpha )^2+\beta^2 }
=\frac{ s + 1 }{(s+1)^2+1^2 }[/tex3]

e

[tex3]\mathscr L\left\{ e^{-\alpha .t}.sen (b.t)\right\}=\frac{ \beta }{(s+\alpha )^2+\beta^2}= \frac{1}{(s+1)^2+1^2} [/tex3]

Obs. Resultados obtidos através da tabela ( pouquíssimos livros trazem os dois últimos valores ) , ou então você usa o teorema juntamente com as propriedades para encontrar esses valores ( ficará como exercício para o leitor ).

Logo,

[tex3]\mathscr L^{-1}\left\{\frac{s^2-1}{(s+2)(s^2+2s+2)}\right\}= \frac{3}{2}.e^{-2t} - \frac{1}{2}.e^{-t}cos (t) - \frac{3}{2}.e^{-t}sen (t)[/tex3]


Nota

Qualquer conclusão ( para ser mais claro, todas sem exceção ) que eu cheguei com relação a esta questão, ficará a cargo do leitor para verificar!

Excelente estudo!

[Auto Excluído (ID: 26045)]

Muito Obrigado!!!!!!!

[Cardoso1979]

Obs.

[tex3]\mathscr L\left\{ e^{-\alpha .t}.cos (\beta.t)\right\}=\frac{s+\alpha }{(s+\alpha )^2+\beta^2 }
=\frac{ s + 1 }{(s+1)^2+1^2 }

\\

e

\\

\mathscr L\left\{ e^{-\alpha .t}.sen (\beta .t)\right\}=\frac{\beta }{(s+\alpha )^2+\beta^2}= \frac{1}{(s+1)^2+1^2}

[/tex3]

[Cardoso1979]

Muito Obrigado!!!!!!!

Disponha