Ensino Médio ⇒ (ENEM 2019) Formação de Grupos Tópico resolvido

[magben]

Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?

A) 69
B) 70
C) 90
D) 104
E) 105

[MateusQqMDMOD]

Olá, @magben.

A ideia do problema é divisão em grupos.

O primeiro grupo pode ser escolhido de [tex3]C^2_8[/tex3] modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram [tex3]6[/tex3] pessoas para formarem os outros grupos. Assim, o segundo grupo pode ser escolhido de [tex3]C^2_6[/tex3] modos. De forma análoga, o terceiro e o quarto grupo pode ser formados, respectivamente, de [tex3]C^2_4 [/tex3] e [tex3]C^2_2[/tex3] modos.

A resposta aparenta ser [tex3]C^2_8 \times C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2.[/tex3] Entretanto, contamos cada divisão [tex3]4![/tex3] vezes ! Por exemplo, a divisão [tex3]\{a, \, b\}[/tex3] [tex3]\{c, \, d\}[/tex3] [tex3]\{e, \, f\}[/tex3] [tex3]\{g, \, h\}[/tex3] é idêntica a [tex3]\{c, \, d\}[/tex3] [tex3]\{e, \, f\}[/tex3] [tex3]\{a, \, b\}[/tex3] [tex3]\{g, \, h\},[/tex3] isto é, foram contadas como distintas apenas pelo fato de termos formados os grupos em ordens diferentes. Como é possível formar esses grupos em [tex3]4![/tex3] ordens, cada divisão em grupos foi contada [tex3]4![/tex3] vezes.

No entanto, ainda há um problema: há grupos que possuem os dois canhotos juntos ! Para contarmos esses casos, basta sabermos de quantos modos podemos formar 3 grupos de 2 pessoas cada (basta formamos os outros grupos, pois os canhotos já formam um dos grupos). Usando o mesmo raciocínio mostrado anteriormente, isso pode ser feito de [tex3]\frac{C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{3!}.[/tex3]

A resposta é [tex3]\frac{C^2_8 \times C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{4!} - \frac{C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{3!} = 105 - 15 = 90.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Há uma solução em vídeo feita pelo professor Caju pra esse problema no canal do Tutorbrasil no youtube: https://www.youtube.com/watch?v=PPXxcqo2ex0

Muito provavelmente a resolução foi feita da mesma forma que mostrei acima, ou por Permutação Simples, mas com certeza é bem mais didática do que a leitura de texto.. recomendo que dê uma olhada.

[csmarceloMOD]

Eu estava tentando resolver de outra forma, mas sem entender porque estava falhando. A solução do MateusQqMD me fez perceber o meu erro.

Se os canhotos não podem ficar no mesmo grupo, então já os separamos.

Grupo A: canhoto 1 e destro ?
Grupo B: canhoto 2 e destro ?
Grupo C: destro ? e destro ?
Grupo D: destro ? e destro ?

Agora, da mesma forma que o Mateus fez, calculamos os grupos sem os canhotos:

[tex3]\frac{C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{3!}=15[/tex3]

Daí, o que vai acontecer é que um dos três grupos formados não é o grupo final. Cada uma das duas pessoas desse grupo formará par com um dos canhotos. Isso pode ser feito de [tex3]\underbrace{C^3_1}_{\text{escolha de um dos três pares}}\cdot\underbrace{2!}_{\text{permutação dos destros nos grupos dos canhotos}}=6[/tex3] maneiras.

[tex3]15\cdot6=90[/tex3]

[magben]

csmarcelo, achei essa questão muito confusa.