Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1978) Sistema Trigonométrico Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Os valores de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que satisfazem ao sistema [tex3]\{x+y=\frac{2\pi}{3}\\senx+seny=\sqrt{3}[/tex3]
A) [tex3]x=k\pi+\frac{\pi}{3}[/tex3]; [tex3]y=\frac{\pi}{3}-2k\pi[/tex3].
B) [tex3]x=k\pi+\frac{\pi}{3}[/tex3]; [tex3]y=\frac{\pi}{3}-k\pi[/tex3].
C) [tex3]x=k\pi+\frac{2\pi}{3}[/tex3]; [tex3]y={-}\frac{\pi}{3}-2k\pi[/tex3].
D) [tex3]x=2k\pi+\frac{\pi}{3}[/tex3]; [tex3]y=k\pi+\frac{\pi}{3}[/tex3].
E) [tex3]x=2k\pi+\frac{\pi}{3}[/tex3]; [tex3]y={-}2k\pi+\frac{\pi}{3}[/tex3].

[fabit]

Vou ver se adianta substituir [tex3]y=\frac{2\pi}{3}-x[/tex3] na segunda, enquanto se desenvolve a expressão

[tex3]\sin(\frac{2\pi}{3}-x)=\sin(\frac{2\pi}{3})\cos x-\sin x\cos(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{2}[/tex3]

Na equação, isso fica:

[tex3]\frac{\sqrt{3}\cos x+3\sin x}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow\boxed{\sqrt{3}\cos x+3\sin x=2\sqrt{3}}[/tex3]

Agora desenhe um triângulo retângulo com catetos 3 e [tex3]\sqrt{3}[/tex3]. A hipotenuse medirá [tex3]\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}[/tex3]. Marque o ângulo adjacente ao cateto que mede 3 (estou chamando esse ângulo de z) e calcule:

[tex3]\begin{cases}\sin z=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\\\cos z=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}[/tex3].

Então [tex3]z=30^\circ[/tex3]

Portanto, dividindo a equação destacada por [tex3]2\sqrt{3}[/tex3], ficamos com:

[tex3]\sin z\cos x+\sin x\cos z=1\Rightarrow\sin(x+30^\circ)=1\Rightarrow x=90^\circ-30^\circ[/tex3]

[tex3]x=60^\circ[/tex3]. E aí [tex3]y=60^\circ[/tex3]. Passando pra radianos aí fica

[tex3]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3]y=\frac{\pi}{3}-2k\pi,k\in\mathbb{Z}[/tex3] (o - em vez de + é pra matar o [tex3]2k\pi[/tex3] de modo a manter a soma igual a [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]).

Letra E