Pré-Vestibular ⇒ (ENEM 2020) Permutações de Elementos nem Todos Distintos Tópico resolvido

[MateusQqMDMOD]

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem "TOM MARVOLO RIDDLE" gerou a frase "I AM LORD VOLDEMORT".

Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase "I AM POTTER", de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.

Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

A) [tex3]9![/tex3]
B) [tex3]4! \, 5![/tex3]
C) [tex3]2 \times 4! 5![/tex3]
D) [tex3]\frac{9!}{2}[/tex3]
E) [tex3]\frac{4! \, 5!}{2}[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Os anagramas de "I AM POTTER", em que as vogais e consoantes aparecem de forma intercaladas, são da forma:

[tex3]\text{C} \,\text{V} \, \text{C} \, \text{V} \, \text{C} \, \text{V} \, \text{C} \,[/tex3]

em que [tex3]\text{C}[/tex3] representa a posição das consoantes e [tex3]\text{V}[/tex3] a posição das vogais.

As consoantes são M, P, T, T, R, e daí podem ser organizadas de [tex3]\frac{5!}{2!},[/tex3] pois a letra T repete duas vezes. As vogais são I, A, O, E, e podem ser organizadas de [tex3]4![/tex3] modos.

A resposta é [tex3]\frac{5! \times 4!}{2!}[/tex3]

[Gabibt]

Olá, reavivando o tópico... nessa questão me veio uma dúvida. Considerando que os anagramas iniciam com consoantes, e não com vogais, não seria necessário multiplicar por dois por conta da possibilidade de iniciar com vogais ? Não consigo entender essa parte. Agradeço desde já se puder me esclarecer isso

[MateusQqMDMOD]

Olá, @Gabibt.

Não há anagrama iniciado em vogal de modo que as vogais e consoantes apareçam intercaladas, pois não existem vogais suficientes para que isso ocorra.

Iniciando o anagrama por uma vogal (V), a configuração seria a seguinte:

[tex3]\text{V} \,\text{C} \, \text{V} \, \text{C} \, \text{V} \, \text{C} \, \text{ _} \,[/tex3]

Perceba que a consoante deveria ser colocada no espaço em branco, certo? Mas daí não satisfaríamos o pedido do enunciado (vogais e consoantes intercaladas). Por isso, não é preciso considerar tal caso, ou seja, multiplicar por dois.

[Gabibt]

ah sim, entendi !! Isso passou desapercebido por mim. Muito obrigada !!