Física I ⇒ (Poliedro) Progressão aritmética e cinemática Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente? Sup? Poderiam me ajudar nessa questão aqui, por favor? Eu a encontrei no módulo de P.A. Até que consegui fazer com P.A, mas depois me deu vontade de fazer com cinemática, mas não consegui. Me parece até simples, mas devo estar errando alguma besteira e olha que eu já revisei. Poderiam fazer com cinemática? Ah... ao fazer com P.A tenho como equação resolutiva "t² - 5t - 150 = 0", mas quando tento fazer com cinemática me deparo com "t² - 4t - 150 = 0".

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Poliedro — Dois móveis partem ao mesmo tempo de A e de B, e andam no mesmo sentido sobre a reta AB, A perseguindo B. O 1º percore 1 m no 1º minuto, 3 m no 2º, 5 m no 3º, e assim por diante, de modo que sua velocidade cresce em PA. O 2º percorre 3 m no 1º minuto, 4 m no 2º, 5 m no 3º e assim por diante. Sabendo que a distância AB é de 75 m, calcular depois de quanto tempo o móvel A alcança o móvel B.

Resposta

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15 minutos

[joaopcarvMOD]

Adotando como referência de origem o ponto [tex3]\mathsf{A}[/tex3]:

Considerando o primeiro móvel [tex3]\rightarrow[/tex3]

Como ele parte de [tex3]\mathsf{A}[/tex3] em [tex3]\mathsf{t \ = \ 0 \ min}[/tex3], sua distância inicial à origem [tex3]\mathsf{S_0 \ = \ 0 \ m}[/tex3].

Vamos montar a relação metros percorridos/minuto passado:

[tex3]\mathsf{\bullet \ 1 \ m \ \Rightarrow \ 1^{\circ} \ min}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ 3 \ m \ \Rightarrow \ 2^{\circ} \ min}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ 5 \ m \ \Rightarrow \ 3^{\circ} \ min}[/tex3]

Ou seja, uma PA de [tex3]\mathsf{r \ = \ 2 \ \frac{m}{min}}[/tex3] em que [tex3]\mathsf{a_1 \ = \ 1 \ m}[/tex3] é a primeira quantidade de metros que ele percorre.
O termo geral fica [tex3]\mathsf{a_t \ = \ a_1 \ + \ (t \ - \ 1) \cdot r \therefore a_t \ = \ 1 \ + \ (t \ - \ 1) \cdot 2}[/tex3] e representa a quantidade de metros percorridos no minuto [tex3]\mathsf{t}[/tex3].

A distância do móvel em relação à origem [tex3]\mathsf{A}[/tex3], para um tempo [tex3]\mathsf{t}[/tex3], é a soma da quantidade de metros percorridos a cada minuto até o minuto [tex3]\mathsf{t}[/tex3] (soma da PA) mais a contribuição da distância inicial.

No caso do primeiro móvel:

[tex3]\mathsf{S_1 \ = \ \dfrac{(a_1 \ + \ a_t)\cdot t}{2} \ + \ S_0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S_1 \ = \ \dfrac{(1 \ + \ (1 \ + \ (t \ - \ 1) \cdot 2))\cdot t}{2} \ + \ \cancelto{0}{S_0}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S_1 \ = \ t^2}[/tex3].

Para o segundo móvel, a construção é semelhante, mas aqui [tex3]\mathsf{S_0 \ = \ 75 \ m}[/tex3] porque ele parte de [tex3]\mathsf{B}[/tex3].

Montando a relação relação metros percorridos/minuto passado:

[tex3]\mathsf{\bullet \ 3 \ m \ \Rightarrow \ 1^{\circ} \ min}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ 4 \ m \ \Rightarrow \ 2^{\circ} \ min}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ 5 \ m \ \Rightarrow \ 3^{\circ} \ min}[/tex3]

É uma PA de [tex3]\mathsf{a_1 \ = \ 3 \ m}[/tex3], [tex3]\mathsf{r \ = \ 1 \ \dfrac{m}{min}}[/tex3] e portanto [tex3]\mathsf{a_t \ = \ 3 \ + \ (t \ - \ 1) \cdot 1.}[/tex3]

A distância do segundo móvel à origem é:

[tex3]\mathsf{S_2 \ = \ \dfrac{(a_1 \ + \ a_t)\cdot t}{2} \ + \ S_0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S_2 \ = \ \dfrac{(3 \ + \ (3 \ + \ (t \ - \ 1) \cdot 1))\cdot t}{2} \ + \ \cancelto{75}{S_0}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S_1 \ = \ \dfrac{(5 \ + \ t) \cdot t}{2} \ + \ 75}[/tex3].

Momento da ultrapassagem: [tex3]\mathsf{S_1 \ = \ S_2:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{t^2 \ = \ \dfrac{(5 \ + \ t) \cdot t}{2} \ + \ 75 }[/tex3]

[tex3]\mathsf{2\cdot t^2 \ = \ 5 \cdot t \ + \ t^2 \ + \ 150}[/tex3]

[tex3]\mathsf{t^2 \ - \ 5\cdot t \ - \ 150 \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{t \ = \ 15 \ minutos}}}[/tex3]

[anastacialina]

@joaopcarvMOD, que senhora resolução! Muito bonita e didática.

Bem, quando resolvi pela primeira vez fiz algo semelhante e o resultado bateu! Mas ao fazer pela segunda vez eu cheguei em algo não condizente com o gabarito, mas ao reexaminar algumas vezes vi que estava errada, o correto seria:

a(A) = 2 m/min²
a(B) = 1 m/min²
S0(A) = 0
S0(B) = 75 m
V0(A) = 0
V0(B) = 5/2 m/min

Encontro: S(A) = S(B)
Equação desenvolvida: t² - 5t - 150 = 0

[joaopcarvMOD]

anastacialina, ah sim, fazendo com cinemática, no caso, né. Interessante esse jeito de fazer, eu fui direto para a PA