Olimpíadas ⇒ (URSS-1948-7° e 8°graus)

[jeffson]

A soma dos inversos de três números naturais é igual a um.Quais são estes números?

Agradeço desde já!

[Auto Excluído (ID:3002)]

2, 4 e 4 pois:

[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1[/tex3]

OBS: o enunciado não diz que os números devem ser diferentes.

[jeffson]

Olá amigo filipeotagradeço pela sua resposta ,porém preciso que prove matemáticamente.

Um grande abraço e obrigado!

[triplebig]

Sim, precisamos da prova, pois verificamos que [tex3]\text{2 , 3 , 6}[/tex3] também satisfazem as condições do problema. Se eu tiver alguma idéia eu coloco aqui.

[jeffson]

Essa está de lascar !!!

Agradeço o seu tempo.

[Beastie]

Suponha que [tex3]a\geq\,b\geq\,c[/tex3], então [tex3]\frac{1}{c}\geq\,\frac{1}{b}\,\geq\,\frac{1}{a}[/tex3] . Como [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/tex3], logo [tex3]\frac{3}{c}\geq\,1\,\geq\,\frac{3}{a}\,\Rightarrow\,c\leq\,3[/tex3] . Isto já limita os casos a serem testados (*):

1)[tex3]c=3[/tex3] : [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}[/tex3] . Fazendo um raciocínio análogo a (*), tem-se que [tex3]b\leq\,3[/tex3]. Testando, achamos a terna [tex3](a,b,c)=(3,3,3)[/tex3] .

2)[tex3]c=2[/tex3] : [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}[/tex3] . Fazendo um raciocínio análogo a (*), tem-se que [tex3]b\leq\,4[/tex3]. Testando, achamos as ternas [tex3](a,b,c)=(4,4,2);\,(6,3,2)[/tex3] .

3)Observe que não há solução para [tex3]c=1[/tex3].


Dessa forma, todas as soluções são [tex3](a,b,c)=(3,3,3);\,(6,3,2);\,(4,4,2)[/tex3] com suas permutações.

[jeffson]

olá Beastie.

Gostaria de agradecer pela excelente resolução .
Muito obrigado!!!

[Beastie]

De nada!