IME / ITA ⇒ (Folha Poliedro IME/ITA) Trigonometria Tópico resolvido

[pedrocg2008]

gente não acho resolução em lugar algum e estou o dia inteiro preso nesta questão alguém me ajuda porfavor!!!!

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34. (IME) Prove que quando os arcos x e y verificam a relação [tex3]a\cdot \sen x \cdot \sen y + b \cdot \cos x \cdot \cos y = 0,[/tex3] a expressão
[tex3]P = \frac{1}{a\cdot \sen^2x + b \cdot \cos^2x} + \frac{1}{a \cdot \sen^2y + b \cdot \cos^2y}[/tex3] é independente de x e y.

Resposta

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infelizmente não achei gabarito em lugar nenhum também

[Ittalo25MOD]

[tex3]a \cdot sen(x) \cdot sen(y) + b\cdot cos(x) \cdot cos(y) = 0[/tex3]
[tex3]a \cdot tan(x) \cdot tan(y) + b = 0 \space \space \space \space (I)[/tex3]
[tex3]tan(x) \cdot tan(y) = -\frac{b}{a} \space \space \space \space (II)[/tex3]
[tex3]tan^2(x) \cdot tan^2(y) = \frac{b^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]atan^2(x) = \frac{b^2}{a\cdot tan^2(y)}[/tex3]

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[tex3]P = \frac{1}{asen^2(x)+bcos^2(x)}+\frac{1}{asen^2(y)+bcos^2(y)}[/tex3]
[tex3]P = \frac{\frac{1}{cos^2(x)}}{atan^2(x)+b}+ \frac{\frac{1}{cos^2(y)}}{atan^2(y)+b}[/tex3]
[tex3]P = \frac{sec^2(x)}{atan^2(x)+b}+ \frac{sec^2(y)}{atan^2(y)+b}[/tex3]
[tex3]P = \frac{tan^2(x)+1}{atan^2(x)+b}+ \frac{tan^2(y)+1}{atan^2(y)+b}[/tex3]
[tex3]P\cdot a = \frac{atan^2(x)+a}{atan^2(x)+b}+ \frac{atan^2(y)+a}{atan^2(y)+b}[/tex3]
[tex3]P\cdot a = \frac{atan^2(x)+b-b+a}{atan^2(x)+b}+ \frac{atan^2(y)+b-b+a}{atan^2(y)+b}[/tex3]
[tex3]P\cdot a = 2+(a-b)\cdot (\frac{1}{atan^2(x)+b}+ \frac{1}{atan^2(y)+b})[/tex3]
[tex3]P\cdot a = 2+(a-b)\cdot (\frac{1}{ \frac{b^2}{a\cdot tan^2(y)}+b}+ \frac{1}{atan^2(y)+b})[/tex3]
[tex3]P\cdot a = 2+(a-b)\cdot (\frac{a\cdot tan^2(y)}{ b^2+ab\cdot tan^2(y)}+ \frac{1}{atan^2(y)+b})[/tex3]
[tex3]P\cdot a = 2+(a-b)\cdot (\frac{a\cdot tan^2(y)+b}{ b\cdot (b+a\cdot tan^2(y))})[/tex3]
[tex3]P\cdot a = 2+\frac{a-b}{b}[/tex3]
[tex3]P = \frac{2}{a}+\frac{a-b}{ab}[/tex3]
[tex3]P = \frac{a+b}{ab}[/tex3]

Repare que foram feitas várias divisões no processo, por exemplo, em (I) dividi tudo por [tex3]cos(x) \cdot cos(y) [/tex3], então é preciso verificar separadamente os casos em que [tex3]cos(x)=0 [/tex3] ou [tex3]cos(y)=0 [/tex3]. Em (II) dividi tudo por a, então é preciso verificar o caso em que [tex3]a=0[/tex3], etc, etc..... deixo para você verificar

[pedrocg2008]

muitooo obrigado ittalo!!! Ajudou demais! tenho um grave problema no estudo sempre que fico emperrado em uma questão não consigo pensar em mais nada além dela! salvou meu diaaaaa