IME / ITA ⇒ (AFA 2000) Geometria Espacial

[Auto Excluído (ID:3002)]

A distância entre as arestas reversas em um tetraedro regular de aresta [tex3]a[/tex3] apótema [tex3]g[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{\sqrt{4g^2-a^2}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{4g^2-a^2}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{g^2-4a^2}}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{g^2-4a^2}}{4}[/tex3]

Gabarito: letra a

[jgpret]

Boa Tarde!

Se alguem quiser postar desenhos melhores, eu agradeço, pois nao tenho muita habilidade com desenhos. Espero que mesmo assim eles estejam tão autoexplicativos como gostaria hehehehe...

Bom, eis o que eu proponho:

Como o tetraedro é regular, as suas faces são triângulos equilateros. Logo, as apotemas do tetraedro coincidem com as alturas/medianas/etc das faces.

Fora isso, seccionei o tetredro de forma a deixas as arestas reversas representadas numa figura plana (um triangulo isóceles). No Ponto [tex3]P[/tex3] simbolizo uma delas e no lado [tex3]VB[/tex3], a outra delas.

tetraedro VABC.jpg (6.48 KiB) Exibido 2386 vezes

Assim, produzo o seguinte triângulo (e para determinar a distância desejada, considero o tamanho do segmento vermelho entre o ponto [tex3]P[/tex3] e o segmento [tex3]VB[/tex3]. Ou seja, a altura do [tex3]\Delta PVB[/tex3]).

triang.jpg (6.26 KiB) Exibido 2385 vezes

Agora, vamos as considerações finais:

Como [tex3]VB=a=2m \leftrightarrow m=\frac{a}{2}[/tex3]

Assim, chamando a distância desejada de [tex3]d[/tex3], representada pelo triângulo vermelho, temos que (por Pitágoras):

[tex3]g^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2[/tex3]
[tex3]g^2- \frac{a^2}{4}= d^2[/tex3]
[tex3]d^2= \frac{4g^2}{4}- \frac{a^2}{4}[/tex3]
[tex3]d^2= \frac{4g^2-a^2}{4}[/tex3]
[tex3]\Large d= \frac{\sqrt{4g^2-a^2}}{2}[/tex3], letra (A).