Pré-Vestibular ⇒ (UEM) Função quadrática Tópico resolvido

[encucado]

A função [tex3]f ( x) = kx( P − x)[/tex3] é utilizada em ecologia, para descrever o comportamento da quantidade de peixes em uma população de um tanque, da seguinte forma: se [tex3]x_0[/tex3] é a população inicial, então [tex3]x_1 = f ( x_0 )[/tex3] é o tamanho da população após um intervalo de tempo [tex3]t[/tex3] , sendo [tex3]t[/tex3] medido em meses; [tex3]x_2 = f ( x_1 )[/tex3] é o tamanho da população após um intervalo de tempo [tex3]2 t[/tex3]; [tex3]x_3 = f ( x_2 )[/tex3] é o tamanho da população após um intervalo de tempo [tex3]3t[/tex3] e assim por diante. As constantes [tex3]k[/tex3] e [tex3]P[/tex3] são números reais positivos, e a variável real [tex3]x[/tex3] foi tomada de forma que [tex3]x = 0[/tex3] significa a extinção da população e [tex3]x = P[/tex3] é a maior população possível no tanque. Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01) O valor máximo de [tex3]f ( x)[/tex3] é [tex3]k P[/tex3] , para qualquer [tex3]P[/tex3].
02) Devemos ter [tex3]k ≤ \frac{4}{P}[/tex3] para que a imagem de [tex3]f[/tex3] ainda represente um valor possível para a população, para todo [tex3]0 ≤ x ≤ P[/tex3].
04)Se [tex3]P = 100[/tex3] e [tex3]k = 0,01[/tex3] , então [tex3]( f\circ f )( x )[/tex3] possui exatamente [tex3]3[/tex3] raízes reais no intervalo [tex3]0 ≤ x ≤ 100[/tex3].
08) A função [tex3]g ( x) = kx(P − x)[/tex3] é tal que [tex3]g ( x) = g ( − x)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real.
16) Se [tex3]P = 100[/tex3] , [tex3]k = 0,02[/tex3] e [tex3]x_0 = 50[/tex3] , então os valores [tex3]x_n, n=1,2,3,...[/tex3] formam uma progressão geométrica.

Resposta

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02 + 16

[petrasMOD]

encucado,

[tex3]\mathtt {01)f(x) = kx(P-x)=kxP-kx^2(Parábola)\\
Valor~Máximo(Vértice): y_v =-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{k^2P^2}{(-4k)}=\boxed{\frac{kP^2}{4}}\\
02)0 \leq x\leq P\rightarrow 0\leq \frac{kP^2}{4}\leq P\rightarrow 0\leq kP^2\leq 4P\rightarrow \boxed{k\leq \frac{4}{P}}\\
04)f(x) = \frac{1}{100}.x(100-x)=x - \frac{x^2}{100}\\
f(f(x)) = x-\frac{x^2}{100}-\frac{(\frac{100x-x^2}{100})^2}{100}=\\
\frac{100x-x^2}{100}-\frac{10000x^2-200x^3-x^4}{1000000}\text{(equação 4o grau) }\\
08) kxP-kx^2=k(-x)P-k(-x)^2\rightarrow kxP-kx^2\neq -kxP-kx^2\\
16) x_1=f(x_o)=f(50)=\frac{2}{100}.50(100-50) = 50\\
x_2=f(x_1)=f(50)=50\\
x_3=f(x_2)=f(50)=50...\\
PG~constante: ~q = 1




}[/tex3]