Pré-Vestibular ⇒ (UFMS) Números complexos

[Natan]

Considerando os números complexos, é correto afirmar que:

(01) O número [tex3]\frac{13}{3-2i}-\frac{4}{1-i}[/tex3] não é inteiro.

(02) [tex3]\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{32}=1.[/tex3]

(04) As raízes da equação [tex3]\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}[/tex3] são [tex3]\frac{-3+3\sqrt3i}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.[/tex3]

(08) Se [tex3]n\, \in\, N^{*}[/tex3] então 4 é o menor valor de [tex3]n[/tex3] que faz com que [tex3](1+i)^n[/tex3] seja um número real.

(16) Se [tex3]z=\sqrt2(\cos\, 135^o+i\sen\, 135^o),[/tex3] então [tex3]z^2=-2i.[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

02) [tex3]\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{32}=1.[/tex3]
[tex3]\left[\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\right]^{30}=1[/tex3]
[tex3]\left[\left(\frac{2i}{-2i}\right)\right]^{30}=1[/tex3]
[tex3]\left[\left(\frac{1}{-1}\right)\right]^{30}=1[/tex3]
[tex3]\left[-1\right]^{30}=1[/tex3]
[tex3]1=1[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

(04) As raízes da equação [tex3]\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}[/tex3] são [tex3]\frac{-3+3\sqrt3i}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x+3}=\frac{3 + x}{3x}{3}[/tex3]
[tex3]1*3x = (x + 3)*(3 + x)[/tex3]
[tex3]3x = (x + 3)^2[/tex3]
[tex3]x^2 + 3x + 9 =0[/tex3], por Baskara:
[tex3]x' = \frac{-3+3\sqrt3i}{2}[/tex3] e
[tex3]x''=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}[/tex3]

[triplebig]

[tex3]\left[\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\right]^{30}=1[/tex3]

[tex3]\[\(\frac{1+i}{1-i}\)^2\]^{30}=\(\frac{1+i}{1-i}\)^{60}\neq\(\frac{1+i}{1-i}\)^{32}[/tex3]

Só deu certo porque [tex3]60\equiv32\equiv 0\text{(mod 4)}[/tex3]

Só apontando um pequeno equívoco.

[ALDRINMOD]

Só retificando a resolução do paulo testoni

02) [tex3]\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{32}=1.[/tex3]
[tex3]\left[\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\right]^{16}=1[/tex3]
[tex3]\left[\left(\frac{2i}{-2i}\right)\right]^{16}=1[/tex3]
[tex3]\left[\left(\frac{1}{-1}\right)\right]^{16}=1[/tex3]
[tex3]\left[-1\right]^{16}=1[/tex3]
[tex3]1=1[/tex3]