Pré-Vestibular ⇒ (UEMA 2011) Geometria Analítica Tópico resolvido

[matheustorres]

Minha dúvida está ao final!! Por favor, acompanhe o raciocínio, é importante !

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(PAES UEMA 2011) A equação da circunferência com raio r = 2 cm e que tem centro no ponto S de encontro das retas [tex3]y – x – 1 = 0[/tex3] e [tex3]y + x – 3 = 0[/tex3], corta o eixo y nos pontos A e B. Dessa forma, sendo as medidas em centímetros, a distância entre os pontos A e B, é:

a) [tex3]3\sqrt{2}[/tex3] cm
b) [tex3](2+ \sqrt{3})[/tex3] cm
c) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3] cm
d) [tex3]2[/tex3] cm
e) [tex3]1[/tex3] cm

Resposta

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Gabarito: C

Entendi até certo ponto uma solução que foi estipulada:

1) Encontrar o centro após igualar as retas (pois elas se cruzem lá, conforme a questão)
C(1,2)

2)Escrever a equação da circunferência com esse dado: (x-1)^2+(y-2)^2=4

Como a questão pede a distância de A e B, onde a circunferência corta o eixo Y, logo X=0. Então, as coordenadas do ponto A e B valem, respectivamente: (0,Ya) e (0,Yb).
Substituindo um dos pontos, o primeiro, por exemplo, temos:
(0-1)^2+(Ya-2)^2=4 --> [tex3]Ya^{2}[/tex3]-4Ya+1=0 --> [tex3]\Delta [/tex3]=12 --> Ya=(4 [tex3]\pm [/tex3] 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3])/2 -->
Ya=2 [tex3]\pm \sqrt{3}[/tex3]

>>> Gostaria de saber se posso considerar os mesmos resultados para Yb (fiquei confuso), pois o processo "seria repetido" caso puséssemos Yb ao invés de Ya. Então essas duas raízes da equação representam o valor de cada ponto (A e B)? Pq ambas são viáveis em termos de números reais, já que são positivos.

Efetuando a diferença entre os dois valores 2+[tex3]\sqrt{3}[/tex3] - (2-[tex3]\sqrt{3}[/tex3]), obteremos 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3], o gabarito.

[petrasMOD]

matheustorres,

Veja que quando você substitui x = 0 na fórmula da circunferência, o resultado encontrado já será os dois pontos de interseção A e B.
A questão de chamar y de yA ou de yB não afeta em nada a resolução. Como o resultado encontrado já será as duas coordenadas de y, o nome dado não terá nenhuma importância, pois se chamar de yA ou outro necessariamente será yB ou vice-versa;

[matheustorres]

petras, e isso ocorre porque as raízes da função nessa parte final do exercício, valores de Y, tornarão o X nulo? (Cortar o eixo Y). Por isso não importa chamar Ya/Yb ???

[petrasMOD]

matheustorres,

Sim, quando temos a coordenada x = 0 encontraremos as coordenadas correspondentes de y.

Como temos uma equação de segundo grau, teremos duas raízes, ou seja, duas coordenadas y.

[matheustorres]

Perfeito, Petras. Muito obrigado mesmo!!! Consegui compreender agora