Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1987) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Determinar o valor de [tex3]m[/tex3], de modo que as raízes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3], da equação [tex3]x^2+mx+m[/tex3], são tais que [tex3]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=69[/tex3]

[Auto Excluído (ID:3002)]

Aldrin acho que você digitou errado o enunciado, pois acho que no lugar do [tex3]n[/tex3] é [tex3]x[/tex3]. Se for isso temos:

[tex3]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=69[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1x_2}=69[/tex3]

Agora como [tex3]{x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex3] segue que:

[tex3]\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=69[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=69[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=71[/tex3] (I)

Pelas equações de Girard, temos: [tex3]x_1+x_2=-m[/tex3] e [tex3]x_1x_2=m[/tex3]. Assim substituindo em (I) obtemos

[tex3]\frac{(-m)^2}{m}=71[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]m=71[/tex3]