IME / ITA ⇒ (Nível-Ime/Ita) Geometria Analítica Tópico resolvido

[Flavio2020]

No gráfico, ABCD é um quadrado. Se N é ponto médio de CM, I é o incentro do triângulo MNE e AD=20, calcule as coordenadas de N.

14f.PNG (8.12 KiB) Exibido 1820 vezes

a)(12;16)
b)(10;15)
c)(10;16)
d)(8;14)
e)(14;17)

Resposta

---

b

[rodBR]

Solução:
[tex3]\#ABCD[/tex3] é um quadrado então as temos [tex3]C=(20,20)[/tex3]

De [tex3]\angle{CEM}=\angle{MBC}=90^{\circ}\implies[/tex3] [tex3]\#BCEM[/tex3] é um quadrilátero inscritível.
Daí, [tex3]\angle{EBM}=\angle{ECM}=37^{\circ}[/tex3] e como [tex3]∆MEC[/tex3] é retângulo, então [tex3]\angle{EMC}=53^{\circ}[/tex3].
De [tex3]N[/tex3] ser ponto médio vem que [tex3]∆MNE[/tex3] é isósceles, donde sai que [tex3]\angle{EMN}=\angle{MEN}=53^{\circ}[/tex3] e de [tex3]I[/tex3] ser incentro combinado com [tex3]B, \ I \ e \ E[/tex3] serem colineares e [tex3]\#BCEM[/tex3] inscritivel, segue que [tex3]\angle{BEM}=\angle{BCM}=\frac{53^{\circ}}{2}[/tex3].

Usando a aproximação para [tex3]\tg\left(\frac{53^{\circ}}{2}\right)[/tex3] no [tex3]∆MBC[/tex3]:
[tex3]\tg\left(\frac{53^{\circ}}{2}\right)=\frac{\overline{BM}}{\overline{BC}}\\
\frac12=\frac{\overline{BC}}{20}\\
\boxed{\boxed{\overline{BC}=10}}\implies\overline{AM}=10\implies\boxed{\boxed{M=(0,10)}}[/tex3]

Como [tex3]N[/tex3] é ponto médio, teremos:
[tex3]M=\left(\frac{0+20}{2},\frac{10+20}{2}\right)\\
\boxed{\boxed{M=\left(10,15\right)}}\implies\text{Alternativa B}[/tex3]





att>>rodBR