Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1987) Desigualdade Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Para [tex3]x \in [0,2\pi][/tex3] o conjunto solução da desigualdade [tex3](\sen x -\cos x )^2 > 1[/tex3] é

a) [tex3]\left\{ x: \frac{\pi}{2} < x < \pi\text{ ou }3\frac{\pi}{2} < x < 2\pi\right\}[/tex3].
b) [tex3]\left\{x: 0 < x < \frac{\pi}{2}\right\}[/tex3].
c) [tex3]\left\{x: \frac{\pi}{2} < x < \pi\right\}[/tex3] .
d) [tex3]\left\{x: \frac{\pi}{2} < x < 3\frac{\pi}{2}\right\}[/tex3].
e) [tex3]\left\{x: \pi < x < 2\pi\right\}[/tex3].

[Beastie]

Desenvolvendo: [tex3](senx-cosx)^2=(sen^2x+cos^2x)-2senx\cdot\,cosx>1\,[/tex3] (*)

Como [tex3]sen^2x+cos^2x=1[/tex3] e [tex3]2senx\cdot\,cosx=sen(2x)[/tex3], tem-se que (*) equivale a:

[tex3]1-sen(2x)>1\,\Rightarrow\,sen(2x)<0\,\Rightarrow\,\pi<2x<2\pi\Rightarrow\,\frac{\pi}{2}<x<\pi[/tex3]

Resposta: letra c.