Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Hexágono Regular e Setor Circular Tópico resolvido

[CarlGauss95]

Encontre o comprimento PD!
Achei o tamanho DQ (relativamente fácil), mas o comprimento PQ está difícil, e não vejo nenhuma saída!
* Não possuo gabarito *

[NathanMoreira]

De onde você tirou a questão? Qual site? Sabe me dizer?

[CarlGauss95]

É de um livro de matemática em inglês! Eu só tive acesso à alguns exercícios e não consegui pegar as soluções! O nome do livro é "50 MATH PROBLEMS WITH SOLUTION: GEOMETRY 1"! Tem na Amazon, e se você tiver Kindle, ele está gratuito.

[NathanMoreira]

Eu acho que to perto de resolver, mas cai numa equação de segundo grau que parecem ter umas raízes bem feias. Depois tento colocar a solução aqui, que ficou bem longa, inclusive.

[NathanMoreira]

Vamos lá.

Os seguintes segmentos e ângulos serão importantes:

Screenshot_10.png (159.05 KiB) Exibido 2351 vezes

Pela fórmula da soma dos ângulos internos em um hexágono, temos que o ângulo interno [tex3]m[/tex3] é:
[tex3]m=\frac{(6-2).180}{6}[/tex3]
[tex3]m=120^{\circ}[/tex3]

Portanto, pelo [tex3]\Delta FED[/tex3] e [tex3]\Delta DCB[/tex3], [tex3]\theta =30^{\circ}[/tex3].

Pela Lei dos Cossenos no [tex3]\Delta FED[/tex3] ou [tex3]\Delta DCB[/tex3], podemos encontrar [tex3]\overline{FD}[/tex3] e [tex3]\overline{DB}[/tex3], que são semelhantes:
[tex3](\overline{DB})^{2}=(10)^{2}+(10)^{2}-2.10.10.cos120^{\circ}[/tex3]
[tex3]\overline{DB}=\overline{FD}=10\sqrt{3}[/tex3]

Também temos que FQ é raio do setor circular AQE, portanto:
[tex3]\overline{FQ}=10[/tex3]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no [tex3]\Delta FDQ[/tex3]:
[tex3](10\sqrt{3})^{2}=(DQ)^{2}+10^{2}[/tex3]
[tex3]\overline{DQ}=10\sqrt{2}[/tex3]

Agora, olhe para o ângulo interno [tex3]E\hat{D}C[/tex3] do hexágono. Temos que:
[tex3]2.\theta +\alpha +\beta =120^{\circ}[/tex3]
[tex3]2.30+\alpha +\beta =120^{\circ}[/tex3]
[tex3]\alpha +\beta =60^{\circ}[/tex3]

Aplicando tangente dos dois lados:
[tex3]tg(\alpha +\beta) =tg(60^{\circ})[/tex3]
[tex3]\frac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha).tg(\beta)}=\sqrt{3}[/tex3]

Pelo [tex3]\Delta DFQ[/tex3], temos que [tex3]tg(\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3], substituindo:
[tex3]\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+tg(\beta)}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}.tg(\beta)}=\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]tg(\beta)=4\sqrt{2}-3\sqrt{3}[/tex3]

Aplicando tangente no [tex3]\Delta BPD[/tex3]
[tex3]tg(\beta )=\frac{\overline{BP}}{\overline{DB}}[/tex3]
[tex3]4\sqrt{2}-3\sqrt{3}=\frac{\overline{BP}}{10\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{BP}=40\sqrt{6}-90[/tex3]

Pelo Teorema de Pitágoras no [tex3]\Delta DBP[/tex3]:
[tex3](DP)^{2}=(40\sqrt{6}-90)^{2}+(10\sqrt{3})^{2}[/tex3]
[tex3]DP=\sqrt{18000-7200\sqrt{6}}[/tex3]

Como não tem gabarito, vou deixar a resposta dessa forma. Creio que não errei em nenhum ponto. Espero ter ajudado.

[CarlGauss95]

Olá Nathan,
muito pensado essa ideia da tangente! Fiquei preso na geometria plana e não consegui ver a trigonometria por trás do problema! Mas a tangente de alfa acredita que seja apenas raiz de 2! O que acha??

[NathanMoreira]

Eu achei a [tex3]tg(\alpha)[/tex3] no [tex3]\Delta DFQ[/tex3]:

[tex3]tg(\alpha)=\frac{\overline{FQ}}{\overline{DQ}}[/tex3]

[tex3]\overline{FQ}=10[/tex3], já que é raio do setor circular.

[tex3]\overline{DQ}[/tex3] é obtido por Pitágoras em [tex3]\Delta DFQ[/tex3]

[tex3](10\sqrt{3})^{2}=(DQ)^{2}+10^{2}[/tex3]
[tex3]100.3=(DQ)^{2}+100[/tex3]
[tex3](DQ)^{2}=300-100[/tex3]
[tex3](DQ)^{2}=200[/tex3]
[tex3]DQ=\sqrt{2.100}[/tex3]
[tex3]DQ=10\sqrt{2}[/tex3]

Substituindo:
[tex3]tg(\alpha)=\frac{10}{10\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]tg(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex3]

Racionalizando:
[tex3]tg(\alpha)=\frac{1.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]tg(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Tentei detalhar mais pra você nessa etapa. Você discorda em alguma parte?

[CarlGauss95]

Nathan, obrigado! É isso mesmo! Me confundi aqui! Perdão pelo incômodo!! Valeu mesmo