IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1985) Integral Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O valor de [tex3]\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sen 2x(\cos ^2x-\sen ^2x)}{\sqrt{1+\sen ^2 2x}} \, dx[/tex3] é:

(A) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] .
(B) [tex3]\frac{\sqrt{2}-1}{2}[/tex3].
(C) [tex3]\sqrt{2}[/tex3].
(D) [tex3]1- \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{1-\sqrt{2}}{2}[/tex3].

[fabit]

Vejamos, se vale [tex3]\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta[/tex3], podemos fazer duas coisas com isso:
1) no numerador, fica [tex3](\cos^2x-\sin^2x)=\cos{2x}[/tex3]; e
2) no radicando do denominador, acho que dá pra simplificar a coisa, pois [tex3]\cos2\theta=1-\sin^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta\Rightarrow\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}[/tex3] e aí fica [tex3]\sqrt{1+\sin^22x}=\sqrt{1+\frac{1-\cos4x}{2}}[/tex3]

Vamos ver se isso dá samba...

O integrando passa a ser

[tex3]\frac{\sin2x(\cos^2x-\sin^2x)}{\sqrt{1+\sin^22x}}=\frac{\sin2x\cos2x}{\sqrt{\frac{3-\cos4x}{2}}}[/tex3]

Lembrando que [tex3]\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta[/tex3], vou multiplicar a fração do integrando em cima e em baixo por 2 para unificar o arco em 4x:

[tex3]\frac{2\sin2x\cos2x}{2\sqrt{\frac{3-\cos4x}{2}}}=\frac{\sin4x}{\sqrt{2(3-\cos4x)}}[/tex3]

Agora vou fazer por substituição, chamando [tex3]u=3-\cos4x[/tex3].

[tex3]\frac{du}{dx}=4\sin4x\Rightarrow\sin4xdx=\frac{du}{4}[/tex3]

A integral indefinida fica [tex3]\int\frac{\sin2x(\cos^2x-\sin^2x)}{\sqrt{1+\sin^22x}}dx=\int\frac{\sin4x}{\sqrt{2(3-\cos4x)}}dx=\int\frac{du/4}{\sqrt{2u}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\int u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{\sqrt{2}}{8}.\frac{\sqrt{u}}{1/2}+C[/tex3]

Em resumo, [tex3]\frac{\sqrt{2(3-\cos4x)}}{4}+C[/tex3]

Definida de 0 a pi/4, fica

[tex3]\frac{\sqrt{2(3-\cos\pi)}}{4}-\frac{\sqrt{2(3-\cos0)}}{4}=\frac{\sqrt{2(3+1)}}{4}-\frac{\sqrt{2(3-1)}}{4}=\frac{2\sqrt{2}-2}{4}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}[/tex3]

Letra B.