Pré-Vestibular ⇒ (UNIFESP 2021) Probabilidade e combinatória Tópico resolvido

[selteneauster]

(UNIFESP 2021) Uma caixa possui n cartas, numeradas de 1 até n. Desta caixa são sorteadas, ao acaso, m cartas.

a) Para n = 10 e m = 6, qual é a probabilidade de que entre as cartas sorteadas tenha saído uma com o número 1?

b) Estabeleça uma fórmula que calcule a probabilidade de que, entre as m cartas sorteadas do total de n cartas, tenham
saído k cartas pré-estabelecidas, com k variando de 1 até m. Apresente sua fórmula com notação de fatorial, simplificada ao máximo, e com o domínio de validade de n, m e k.

Resposta

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a) 3/5

b) [tex3]\frac{(n-k)! m!}{(m-k)!n!}[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

a)
I) Quantidade de cartas que você pode pegar:[tex3]C_{m,n} = \frac{m!}{n!(m-n)!} = \frac{10!}{6!4!} = 210 [/tex3].
II) Você deve pegar o 1. Sobram m = 9 cartas e n = 5 possibilidades. Então: [tex3]C_{9,5} = \frac{9!}{5!4!}=126[/tex3]
[tex3]\therefore p = \frac{126}{210} = \frac 3 5[/tex3]
b)
I) No total, você pode pegar: [tex3]C_{n,m} = \frac{n!}{m!(m-n)!}[/tex3]
II) Suponha que você deseja pegar K cartas pré-estabelecidas. Dessa forma, essas K cargas devem estar em sua mão. Logo, você terá a opção de pegar apenas m - K cartas do total. Ou seja, [tex3]C_{n-k, m-k} = \frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-k-(m-k))!} = \frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}[/tex3]
[tex3]\therefore p = \frac{\frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}}{\frac{n!}{m!(m-n)!}} = \frac{m!(n-k)!}{n!(m-k)!}[/tex3]

[selteneauster]

Olá, @LucasPinafiMOD

Agradeço pela resolução.

Uma pequena observação: acho que houve um equívoco nos itens I e II, o correto seria n = 9 e m = 5, não?