Ensino Superior ⇒ Intervalo de Confiança Tópico resolvido

[medici]

Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9. Para confiança de 90%, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 ou 100. Comente as diferenças.

Resposta

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n=30 amplitude é 5,39; n=50 amplitude é 4,17; n=100 amplitude é 2,95

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Como o enunciado em nenhum momento associa o desvio padrão mencionado à uma amostra, podemos assumir que o mesmo é populacional e portanto utilizaremos a fórmula do intervalo de confiança da média com desvio padrão populacional.

A fórmula do intervalo de confiança é :

[tex3]IC(\mu ,\gamma )=\left[\overline{X} ± z_{c}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right][/tex3]

Pelo enunciado percebemos que ele não quer efetivamente o intervalo de confiança, mas sim a amplitude do mesmo, ou seja , qual o tamanho do mesmo (Amplitude = Limite superior – Limite inferior).

[tex3]Amplitude =

\left(\overline{X} + z_{c}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)-
\left(\overline{X} - z_{c}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right) = \overline{X} + z_{c}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}-
\overline{X} + z_{c}\frac{\sigma }{\sqrt{n}} = 2z_{c}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}[/tex3].

Agora sabemos quais variáveis necessitamos e quais estão presentes no enunciado. O desvio padrão populacional σ apresentado é igual a 9 e o exercício
pede que calculemos três ( 3 ) cenários, um com um n = 30 outro com um n = 50 e outro com n = 100. A única informação que falta é o [tex3]z_{c}[/tex3], que recorreremos à tabela da normal para encontra-lo. Com um nível de confiança γ = 90%, temos:

[tex3]z_{c} = 1,64[/tex3] ou [tex3]z_{c} = 1,65[/tex3]

Obs.1

Esse valor, eu já demonstrei em um exercício anterior seu como se encontra, porém , vou lhe indicar( já que pelas regras deste fórum não é permitido postar vídeos ) um excelente canal no YouTube que o professor explica como encontrar o valor crítico ([tex3]z_{c}[/tex3]).


Obs.2

Geralmente , essas questões ( principalmente em concursos ) , os valores dos níveis de confiança ou grau de confiança mais "cobrado" ou "dado" são : 90% , 95% e 99% , sei que são muitas as fórmulas e números para serem memorizadas, mais o ideal e vantajoso é que você já tenha esses valores em mente, até mesmo para "ganhar" tempo .



Para γ = 90% → [tex3]z_{c} = 1,64 \ ou \ 1,65[/tex3]

Para γ = 95% → [tex3]z_{c} = 1,96[/tex3]

Para γ = 99% → [tex3]z_{c} = 2,57[/tex3]



O nome do canal é : Prof. MURAKAMI-MATEMATICA, caso você queira ir diretamente no vídeo da explicação , você digita na parte de pesquisa do YouTube a seguinte frase : INTERVALO DE CONFIANÇA 01

Dito isso, vem;

[tex3]A_{n=30} = 2.1,64.\frac{9}{\sqrt{30}} = 5,389 → A_{n = 30} ≈ 5,39[/tex3] ;

[tex3]A_{n=50} = 2.1,64.\frac{9}{\sqrt{50}} ≈ 4,17[/tex3] ;

[tex3]A_{n=100} = 2.1,64.\frac{9}{\sqrt{100}} = 2,952 → A_{n = 100} ≈ 2,95 [/tex3].

Comente as diferenças.

Podemos perceber através de ambas as amplitudes que, quanto maior o número de observações na amostra, menor é a amplitude. Isso se dá devido ao
fato de que, quanto maior o tamanho da amostra, mais próxima do todo a mesma se encontra, ou seja, eu erro menos e analogamente, preciso de margens
de erro menores, diminuindo assim a amplitude de tal intervalo.


Excelente estudo!