Pré-Vestibular ⇒ Vunesp - Conjuntos

[MORANGA]

A parede da fachada de um prédio vai ser pintada, e a empresa contratada para realizar essa tarefa fez uma pesquisa entre os moradores, perguntando se preferiam que a cor da tinta fosse branca ou bege. Os moradores podiam escolher uma dessas duas cores ou mesmo as duas cores em sua resposta, mas estas eram as únicas respostas possíveis, conforme acordo firmado entre eles.
Depois de todos os moradores responderem à pergunta, e levando-se em conta que cada morador respondeu à pergunta uma única vez, respeitando o acordo estabelecido entre eles, verificou-se que a cor branca apareceu em, exatamente, 49 respostas, enquanto que a cor bege figurou em exatamente 85 respostas. Além disso, exatamente 60 moradores optaram por uma única das duas cores sugeridas.
O número total de moradores do prédio é igual a

a) 194.
b) 134.
c) 97.
d) 95.
e) 74.

Resposta : C

[csmarceloMOD]

[tex3]A[/tex3]: conjunto dos moradores que votaram na cor branca
[tex3]B[/tex3]: conjunto dos moradores que votaram na cor beje

Temos a famigerada equação:

[tex3]n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)[/tex3] (I)

Mas também:

[tex3]n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)[/tex3] (II)

Logo,

[tex3]n(A)+n(B)-n(A\cap B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)[/tex3]

Incorporando os dados do enunciado

[tex3]49+85-n(A\cap B)=60+n(A\cap B)\therefore n(A\cap B)=37[/tex3]

Substituindo em (I) ou em (II), chegamos em [tex3]n(A\cup B)=97[/tex3].